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1、第7讲立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直最新考纲1.理解直线的方向向量及平面的法向量；2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.知 识 梳 理1.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量.(2)平面的法向量：直线l，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面的法向量.2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1n20直线l的方向向量为n，平面的
2、法向量为mlnmnm0lnmnm平面，的法向量分别为n，mnmnmnmnm0诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)直线的方向向量是唯一确定的.()(2)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.()(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行或重合.()(4)若空间向量a平行于平面，则a所在直线与平面平行.()答案(1)(2)(3)(4)2.(选修21P104练习2改编)已知平面，的法向量分别为n1(2，3，5)，n2(3，1，4)，则()A. B.C.，相交但不垂直 D.以上均不对解析n1n2，且n1n22(3)315(4)230，不平行，也不垂直.答案C3.已知A(1，0，0
3、)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是()A.(1，1，1) B.(1，1，1)C. D.解析设n(x，y，z)为平面ABC的法向量，则化简得xyz.答案C4.(2017青岛月考)所图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是_.解析以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设|AD|2，则A(2，0，0)，M(0，0，1)，O(1，1，0)，N(2，1，2)，所以(2，0，1)，(1，0，2)，因此2020，故AMON.答
4、案垂直5.(2017杭州调研)设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n(2，2，4)，若a(1，1，2)，则直线l与平面的位置关系为_；若a(1，1，1)，则直线l与平面的位置关系为_.解析当a(1，1，2)时，an，则l；当a(1，1，1)时，an(1，1，1)(2，2，4)0，则l或l.答案ll或l6.(2017绍兴月考)设，为两个不同的平面，u(2，2，5)，v(1，1，x)分别为平面，的法向量.(1)若，则x_；(2)若，则x_.解析(1)由，得uv0，即225x0，x；(2)由，得uv，即，x.答案(1)(2)考点一利用空间向量证明平行问题【例1】 如图，在四面体ABCD中，AD平面
5、BCD，BCCD，AD2，BD2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ3QC.证明：PQ平面BCD.证明法一如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线分别为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知，A(0，2)，B(0，0)，D(0，0).设点C的坐标为(x0，y0，0).因为3，所以Q.因为M为AD的中点，故M(0，1).又P为BM的中点，故P，所以.又平面BCD的一个法向量为a(0，0，1)，故a0.又PQ平面BCD，所以PQ平面BCD.法二在线段CD上取点F，使得DF3FC，连接OF，同法一建立空间直角坐标系，写出点A，B，C的坐标，设点C坐标
6、为(x0，y0，0).，设点F坐标为(x，y，0)，则(xx0，yy0，0)(x0，y0，0)，又由法一知，PQOF.又PQ平面BCD，OF平面BCD，PQ平面BCD.规律方法(1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键.(2)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.【训练1】 如图所示，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E
7、，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点.求证：PB平面EFG.证明平面PAD平面ABCD，且ABCD为正方形，AB，AP，AD两两垂直.以A为坐标原点，建立如右图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0).法一(0，1，0)，(1，2，1)，设平面EFG的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，则n(1，0，1)为平面EFG的一个法向量，(2，0，2)，n0，n，PB平面EFG，PB平面EFG.法二(2，0，2)，(0，1，0)，(1，1，1).设st，即(2，0
8、，2)s(0，1，0)t(1，1，1)，解得st2.22，又与不共线，与共面.PB平面EFG，PB平面EFG.考点二利用空间向量证明垂直问题【例2】 如图所示，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，侧面PBC底面ABCD.证明：(1)PABD；(2)平面PAD平面PAB.证明(1)取BC的中点O，连接PO，平面PBC底面ABCD，PBC为等边三角形，PO底面ABCD.以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.不妨设CD1，则ABBC2，PO.A(1，2，0)，B(1，
9、0，0)，D(1，1，0)，P(0，0，).(2，1，0)，(1，2，).(2)1(1)(2)0()0，PABD.(2)取PA的中点M，连接DM，则M.，(1，0，)，100()0，即DMPB.10(2)()0，即DMPA.又PAPBP，DM平面PAB.DM平面PAD，平面PAD平面PAB.规律方法(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.(2)用向量证明垂直的方法线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.
10、面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.【训练2】 如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1平面A1BD.证明法一设平面A1BD内的任意一条直线m的方向向量为m.由共面向量定理，则存在实数，使m.令a，b，c，显然它们不共面，并且|a|b|c|2，abac0，bc2，以它们为空间的一个基底，则ac，ab，ac，mabc，m(ac)4240.故m，故AB1平面A1BD.法二如图所示，取BC的中点O，连接AO.因为ABC为正三角形，所以AOBC.因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面B
11、CC1B1，所以AO平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，以O为原点，分别以，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(1，1，0)，A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0).设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，(1，2，)，(2，1，0).因为n，n，故令x1，则y2，z，故n(1，2，)为平面A1BD的一个法向量，而(1，2，)，所以n，所以n，故AB1平面A1BD.考点三利用空间向量解决探索性问题【例3】 (2017湖州调研)如图，棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都等于2，ABC和A1AC均为60，平面AA1C1C平面ABCD.(1)
12、求证：BDAA1；(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由.(1)证明设BD与AC交于点O，则BDAC，连接A1O，在AA1O中，AA12，AO1，A1AO60，A1O2AAAO22AA1AOcos 603，AO2A1O2AA，A1OAO.由于平面AA1C1C平面ABCD，平面AA1C1C平面ABCDAC，A1O平面AA1C1C，A1O平面ABCD，以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，D(，0，0)，A1(0，0，)，C1(0，2，).
13、由于(2，0，0)，(0，1，)，0(2)1000，即BDAA1.(2)解假设在直线CC1上存在点P，使BP平面DA1C1，设，P(x，y，z)，则(x，y1，z)(0，1，).从而有P(0，1，)，(，1，).设n3平面DA1C1，则又(0，2，0)，(，0，)，设n3(x3，y3，z3)，取n3(1，0，1)，因为BP平面DA1C1，则n3，即n30，得1，即点P在C1C的延长线上，且C1CCP.规律方法向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，并用向量表示出来，然后再加以证明，得出结论.(2)假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点，根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程(组)求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在.【训练3】 在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E，F分别是AB，PB的中点.(1)求证：EFCD；(2)在平面
