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1、一、有穷数列的求和；数列的求和1 1 1 11.不可求和:如调和级数:S = 1 + +-+ + -；n 2 3 4 n 1 1 1 1 S = 1 +=；n 2v3v4vn1 1 1 1 S= 1 + + n 233343 n 32.可求和数列；(三)错位作差法：1. 等比数列求和：2. 若a 是公差为d的等差数列，b 是公比为q的等比数列，则数列a bnnn n解: V S = a b + a b + a b n 1 12 2n n当 q=1 时： S = a b + a b + + a b = b (a + a + + a )=n 1 1 2 1n 1 1 12qS = a b + a
2、b + a b + a b qn 1 2 2 3n1 n n n的前 n 项和。当qHl时:n(a + a )b1n 12-得：(1 - q)S=a b + d (b + b dF b ) a b q1123=解得： S n n na b -a b11n i1 qq db+ :(1-q n-1)2(1 - q)21)231+2 +232)n+1+2n1 2 3 二 + + + n aa 2a3设 S = 1 2 + 3 4 + + (1) n-1 - n,贝 US+ S + S = A.1173350求和： Sn+ -anB0C3)n(4 )已知数歹U a 满足：a + 3a + 卜(2n 1
3、)a = (2n 3) - 2n+1,数列lb 的前 n12S = 2n2 + n 2.求数列a - b 的前n项和W .nn nn1(5)已知数列a 的前 n 项和 S = a2 (_)n-1 b2 (n +nn21 D 2n 项 和n-1(n = 1,2,),其中a,b是非零常数，则存在数列x , y 使得：n其中x 为等差数列，y 为等比数列nn其中x ， y 都为等差数列nn其中x 为等差数列，y 为等比数列nn其中x ，y 都为等比数列n5.(通项公式为三角或反三角式)(2)试证：匸 tan ka tan(k + 1)a = tan n0C n。tanak =1提示：tanka ta
4、n(k + 1)a = tan(k + 5 一tankcc 1 (两角差公式的变形)。A.a=x+ynnnB.a=x+ynnnC.a=xynnnD.a=xynnnntan an + 1nxn + 1nxsin x sincos x sin -(3)求证：(1) Zsinkx =2 ； (2) Zcoskx =22x k=1sink=121 (2 k + 1)x(2 k 1)x cos cos2 ( 2 2 丿提示：sin kx sin =-cos kx sin =22.xsin21 ( . (2 k + 1)x . (2 k 一 1)x sin sin2 ( 2 2 丿(4)求证：1 1 1c
5、os10+ +.+ =cos00 cos10 cos10 cos 20cos88 0 cos89 0 sin210提亍coslo_ cos(n +1)0 -nocosn0cos(n+1)0 cosn0cos(n+1)0(四)化归法-公式法：1.等差、等比求和：通过对数列通项结构特点的分析研究，将其数列分解转化为若干个能求和 的新数列的和、差，从而求得原数列的和的一种求和方法。1 1 1xHO 时，求和(x+ ) 2+(x2+) 2+(x3+)2+xx 2x3111 1求和：2- + 4- + 8 + +1024=2481o24a=3n+2n+1, S =n7已知:对任意自然数n都有a+a+a
6、=2n-1,12n12-22+32-42 992-1002 的值是 (A) -50501)2)3)4)5)+ (xn+)2。xn求 a 2 + a 2 +a 2.12nB) -5000(C) -100(D) 3950一般地:1 22 + 32 42 + + (1)n1 n2 二(1)n1 ( + 12(6)数列 1, (1+2), (1+2+22),，(1+2+22+2n-i),的前 n 项和等于()A. 2n+i n B. 2n+i n 2 C. 2n n 1D. 2n n 2(7)数列a 的通项公式为a _ 4n 1,令b _ h + a2 + ,则数列b 的前n项和为() nnnnnA.
7、 n2B. n(n + 2)C. n(n +1)D. n(2n +1)注：循环数与循环小数 数列0.5, 0.55, 0.555, 0.5555,的前n项之和为。 数列7, 77, 777, 7777,前n项项和为12、记住： 1 + 22 + 32 + 42 + n2 _ n(n + 1)(2n +1)61 + 23 + 33 + 43 + n3n(n+1) 2丿(1)求下列各数列的前n项之和:12+23+n(n+1)(2)求和：S _ 1 - n + 2 - (n 1) + 3 - (n 2) + n 1;n提示：数列的第n项“n1”不是数列的通项公式，记这个数列为a ,n其通项公式是 a _ k n (k 1) _ kn k2 + k(k _ 1,2,3,n),k4.其它:111111111(1) 数列1,的前100项之和等于223334444提示：分组求和。(2) 求数列卜in牛的前2011项和。(提示：数列是周期数列。)(3) 已知数列a ： a _ 1, a _ a a，求它的前100项和。n 1n +2 n+1 n
