《9二项式定理计数概率与统计1981-2019年历年数学联赛50套真题WORD版分类汇编含详细答案.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《9二项式定理计数概率与统计1981-2019年历年数学联赛50套真题WORD版分类汇编含详细答案.doc（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1981年2019年全国高中数学联赛试题分类汇编计数问题、概率与统计部分2019A 5、在 中随机选出一个数，在 中随机选出一个数，则被整除的概率为 答案： 解析：首先数组有 种等概率的选法 考虑其中使被整除的选法数N若被 3 整除，则也被 3 整除此时各有3种选法，这样的有 组若不被 3 整除，则，从而此时有7 种选法，有4种选法，这样的有组 因此于是所求概率为。2019A 8、将个数按任意次序排成一行，拼成一个位数（首位不为），则产生的不同的位数的个数为 答案：解析：将的首位不为的排列的全体记为，记为的元素个数。易知将中的后一项是，且的后一项是的排列的全体记为B ；A中的后一项是0 ，但的
2、后一项不是的排列的全体记为C；A中1的后一项是9，但2的后一项不是0 的排列的全体记为D易知,， ,即,由B中排列产生的每个8位数，恰对应B中的个排列（这样的排列中，20 可与“2, 0 ”互换，19可与“1, 9 ”互换）类似地，由C 或 D 中排列产生的每个 8 位数，恰对应C 或 D 中的2个排列因此满足条件的 8 位数的个数为.2019B 5. 将个数按任意次序排成一行，拼成一个位数（首位不为），则产生的不同的位数的个数为 答案： 解析：易知的所有不以0 为开头的排列共有个其中，除了和这两种排列对应同一个数，其余的数互不相等因此满足条件的位数的个数为2019B 6. 设整数，的展开式中
3、与两项的系数相等，则的值为 答案：解析：注意到，其中项仅出现在求和指标时的展开式中，其项系数为；而项仅出现在求和指标时的展开式中，其项系数为，因此有，注意到，化简得，故只能是为奇数且解得2018A 3、将随机排成一行，记为，则是偶数的概率为 答案：解析：先考虑为奇数时，一奇一偶，若为奇数，则为的排列，进而为的排列，这样共有种；若为偶数，由对称性得，也有种，从而为奇数的概率为，故所求为2018B 3、将随机排成一行，记为，则是奇数的概率为 答案：解析：由为奇数时，一奇一偶，若为奇数，则为的排列，进而为的排列，这样共有种；若为偶数，由对称性得，也有种，从而为奇数的概率为。 2017A 6、在平面直
4、角坐标系中，点集，在中随机取出三个点，则这三个点中存在两点距离为的概率为 答案： 解析：由题意得有个点，故从中取出三个点共有种。将中的点按右图标记为，其中有对点之间的距离为，由对称性，考虑取两点的情况，则余下的一个点有种取法，这样有个三点组（不考虑顺序）。对每个（），中恰有两点与之的距离为（这里下标按模8可以理解），因而恰有这个三点组被计了两次，从而满足条件的三点组个数为，进而所求的概率为。2017B 6、在平面直角坐标系中，点集，在中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离不超过的概率为 答案：解析：注意中共有9个点，故在中随机取出三个点的方式数为种，当取出的三点两两之间距离不超过2时，有如下
5、三种情况：（1）三点在一横线或一纵线上，有6种情况，（2）三点是边长为的等腰直角三角形的顶点，有种情况，（3）三点是边长为的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于的有4个，直角顶点位于，的各有一个，共有8种情况.综上可知，选出三点两两之间距离不超过2的情况数为，进而所求概率为.2016A 4、袋子中装有张元纸币和张元纸币，袋子中装有张元纸币和张元纸币，现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则中剩下的纸币面值之和大于中剩下的纸币面值之和的概率为 答案：解析：一种取法符合要求，等价于从A中取走的两张纸币的总面值小于从B中取走的两张纸币的总面值，从而故只能从A中国取走两张1元纸币，相应的取法数为又此时
6、，即从B中取走的两张纸币不能都是1元纸币，相应有种取法因此，所求的概率为2016B 5、将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子中，恰有两个球放在同一盒子的概率为 答案：解析：样本空间中有个元素而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为过所求的概率为2015A 5、在正方体中随机取条棱，他们两两异面的概率为 答案：解析：设正方体为ABCD-EFGH，它共有12条棱，从中任意取出3条棱的方法共有=220种下面考虑使3条棱两两异面的取法数由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即 AB、AD、AE的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向可先取定AB方向的棱，这有4
7、种取法不妨设取的棱就是AB，则AD方向只能取棱EH或棱FG，共2种可能当AD方向取棱是EH或FG时，AE方向取棱分别只能是CG或DH由上可知，3条棱两两异面的取法数为42=8，故所求概率为2015B 8、正2015边形内接于单位圆，任取它的两个不同顶点，则的概率为 答案： 解析：因为，所以故的充分必要条件是，即向量的夹角不超过对任意给定的向量，满足条件的向量可的取法共有： 种，故的概率是：2014A 8、设是空间四个不共面的点，以的概率在每对点之间连一条边，任意两对点之间是否连边是相互独立的，则可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率为 答案： 解析：每对点之间是否连边有2种可能，共
8、有种情况。考虑其中A，B可用折线连接的情况数。有AB边：共种情况。无AB边，但有CD边：此时A，B可用折线连接当且仅当A与C，D中至少一点相连，且B与C，D中至少一点相连，这样的情况数为。 无AB边，也无CD边：此时AC，CB相连有种情况，AD，DB相连也有种情况，但其中AC，CB，AD，DB均相连的情况重复计了一次，故A，B可用折线连接的情况数为。以上三类情况数的总和为32+9+7=48，故A，B可用折线连接的概率为。2014B 7、将一副扑克牌中的大小王去掉，在剩下的张牌中随机地抽取张，其中至少有两张牌上的数字（或者字母）相同的概率是 （要求计算出这个概率的数值，精确到0.001）答案：
9、解析：记所求事件为，则的对立事件为“所抽取的5张牌上的数字各不相同”，我们来计算的概率。事件可以分解成两步：第一步在13个不同数字中抽取5个数字，共有种取法；第二步给每个数字涂一种花色每个数字共有4种花色可选，5个数字共有种不同的选择。所以事件共包含。由于在52张牌随机抽取5张的基本事件个数为，于是事件发生的概率为，从而。2013A 6、从中任取个不同的数，其中至少有个是相邻数的概率为 答案：解析：记所取的个数分别为，且。若这五个数互不相邻，则，由此可知，从中取个互不相邻的数的取法和从中取个不同的数的取法相同即，故所求至少有两个数是相邻的概率为2013A 8、已知数列共有项，其中，且对每个，均
10、有则这样的数列的个数为 答案：解析：记，则反之，若符合的项数列可以唯一确定一个符合题意条件的项数列。记符合条件的有个，显然中有偶数个，即个；继而有个，个，当给定的值时，有种，易得只能取，所以这样的数列共有.故所求的数列个数为。2013A三、（本题满分50分）一次考试共有道试题，个学生参加，其中为给定的整数，每道题的得分规则是：若该题恰有个学生没有答对，则每个答对该题的学生得分，未答对的学生得分.每个学生得总分为其道题的得分总和.将所有的学生总分从高到低排列为，求的最大可能值。解析：对任意的，设第题没有答对的有人，则第题没有答对的有人，由得分规则知，这在第题均得到分，记这个学生的得分之和为，则因
11、为每一个人在第题上至多得分，故由于，故有所以由柯西不等式的于是，另一方面，若有一个学生全部答对，其他个学生全部答错时， 综上所述，的最大可能值为。2013B 8、将正九边形的每个顶点等概率地涂上红、蓝两种颜色之一，则存在三个同色的顶点构成锐角三角形的概率为 答案：解析：若同一种颜色的顶点构成的凸多边形内部包含正九边形的外接圆圆心，则存在这种颜色的三个顶点，其构成的三角形也包含圆心，从而这个三角形是锐角三角形。反之，若某种颜色的顶点包含一个锐角三角形的顶点，则它们所生成的凸多边形就包含了正九边形外接圆的圆心。这样一来，如果红蓝两色的顶点生成的凸多边形都不包含圆心的话，那么这两种颜色的顶点分别落在
12、外接圆的半圆中，这种情况发生的仅有的可能是红点是连续的4个顶点，或者是连续的5个顶点，它们各有9种情况。所以，所求的概率为2012A 8、某情报站有四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种。设第周使用密码，那么第周也使用密码的概率为 答案：解析：用表示第周用种密码的概率,则第周末用种密码的概率为.于是,有,即，由知，是首项为，公比为的等比数列。所以，即，故2012B 8、一个均匀的正方体骰子的各面上分别标有数字，每次投掷这样两个相同的骰子，规定向上的两个面上的数字之和为这次投掷的点数。那么，投掷次所得个点数之积能被整除的概率是 （用最简
13、分数表示）答案：解析：考虑一次投掷时，投出的点数是的概率为，又投出的点数是奇数（偶数）的概率均为，故投出的点数是奇数但不是的概率为。在次投掷中，记“仅有一次投出的点数是，另外两次至少有一次投出的点数是偶数”为事件，则 ，记“有两次投出的点数是，另外一次投出的点数是偶数”为事件，则，显然事件与事件互斥，故所求概率为。2011A 5、现安排名同学去参加个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 答案： 解析：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形： （1）有一个项目有3人参加，共有种方案；（2）有两个项目各有2人参加，
14、共有种方案；所以满足题设要求的方案数为2011B 4、把扑克牌中的分别看作数字.现将一副扑克牌中的黑桃、红桃各13张放在一起，从中随机取出2张牌，其花色相同且两个数的积是完全平方数的概率为_ 答案： 解析：从张牌中任意取出张，共有种取法。牌的花色相同且积是完全平方数的有，共对，因此概率为2010AB 6、两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两个颗，第一个使两颗骰子点数和大于者为胜，否则轮另一个人投掷。则先投掷人获胜的概率为 答案： 解析：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为，从而先投掷人的获胜概率为.2009*7、一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一个数是 （可以用指数表示）答案：解析： 易知：该数表共有100行；每一行构成一个等差数列，且公差依次为为所求。设第行的第一个数为，则
