《14-双曲线的简单几何性质(1).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《14-双曲线的简单几何性质(1).doc（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.2.2 双曲线的简单几何性质（1）教材分析本节内容是数学选修2-1第二章第三节双曲线的简单几何性质，是在学习完了椭圆基本知识和双曲线的标准方程之后要研究的课题.它是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础；有助于学生理解、体会利用代数方法研究几何问题的解析几何观念，提高学生的数学素质.本节课的重点是双曲线的渐近线、离心率、双曲线的另一种定义及其得出过程；难点是渐近线的理解，离心率与双曲线形状的关系，以及双曲线的另一种定义的得出过程. 通过探究双曲线的简单几何性质，可以很好地培养学生分析问题、解决问题的能力，要求学生有意识地运用数形结合思想、分类讨论思想，在解决新问题的过程
2、中，又要自觉的运用化归与转化思想，体现解决数学问题的一般思路与方法.课时分配 本节内容计划用2课时的时间完成，本节课为第一课时，主要讲解双曲线的简单几何性质及双曲线的另一种定义.教学目标重点: 双曲线的渐近线、离心率、双曲线的另一种定义及其得出过程.难点：渐近线的理解，离心率与双曲线形状的关系，以及双曲线的另一种定义的得出过程知识点：双曲线简单的几何性质.能力点：如何运用双曲线的几何性质解决双曲线的综合问题，数形结合、分类讨论的数学思想的运用.教育点：经历由特殊到一般的研究数学问题的过程，体会探究的乐趣，激发学生的学习热情.自主探究点：双曲线的另一种定义方式.考试点：用双曲线的简单几何性质解决
3、简单的数学问题.易错易混点：在运用几何性质时学生容易与椭圆的几何性质混淆出现错误.拓展点：双曲线渐近线的深入理解及几类特殊的双曲线.教具准备 多媒体课件课堂模式 学案导学一、复习引入名 称椭 圆双 曲 线图 象定 义 平面内到两定点的距离的和为常数（大于）的动点的轨迹叫椭圆.即 当时，轨迹是椭圆， 当时，轨迹是一条线段； 当时，轨迹不存在.平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线.即当时，轨迹是双曲线；当时，轨迹是两条射线；当时，轨迹不存在.标准方 程 焦点在轴上时： 焦点在轴上时： 注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上.焦点在轴上时： 焦点在轴上时：注：是根
4、据项的正负来判断焦点所在的位置.常数的关 系 （符合勾股定理的结构）， 最大，（符合勾股定理的结构）最大，可以我们已经学习过椭圆的简单几何性质，并且研究了直线与椭圆的位置关系，那么双曲线有哪些几何性质呢？本节课我们就一起来研究一下双曲线的几何性质.【设计意图】通过回顾椭圆与双曲线的定义及标准方程，使学生学会类比，通过类比椭圆的简单几何性质进而引入本节课所要研究的双曲线的几何性质，通过类比熟悉的内容去学习新的内容消除了学生心理上的恐惧，更有利于新知识的接受与理解.二、探究新知1范围、对称性 由标准方程可得，当时，才有实数值；对于的任何值，都有实数值 这说明从横的方向来看，直线之间没有图像，从纵的
5、方向来看，随着的增大，的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，双曲线的图像关于轴、轴及坐标原点都对称，但不像椭圆那样是封闭曲线.双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心.2顶点顶点： 特殊点：实轴：长为，叫做半实轴长.虚轴：长为，叫做虚半轴长.结合图形，讲解顶点和轴的概念，在双曲线方程中，令得，故它与轴有两个交点，且轴为双曲线的对称轴，所以与其对称轴的交点，称为双曲线的顶点(一般而言，曲线的顶点均指与其对称轴的交点)，而对称轴上位于两顶点间的线段叫做双曲线的实轴长，它的长是.在方程中令得，这个方程没有实数根，说明双曲线和轴没有交点.但轴上的两个特殊点，这两个点在双曲线中也有非常重
6、要的作用.把线段叫做双曲线的虚轴，它的长是.要特别注意不要把虚轴与椭圆的短轴混淆.双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异.3渐近线过双曲线的两顶点，作轴的平行线，经过作轴的平行线，四条直线围成一个矩形.矩形的两条对角线所在直线方程是（），这两条直线就是双曲线的渐近线.分析：要证明直线（）是双曲线的渐近线，即要证明随着的增大，直线和曲线越来越靠拢.也即如图所示要证曲线上的点到直线的距离越来越短，因此把问题转化为计算.但因不好直接求得，因此又把问题转化为求，最后强调，对圆锥曲线而言，渐近线是双曲线具有的性质.（）.两类特殊双曲线：A等轴双曲线如果则双曲线的实轴和虚轴等长，这样的
7、双曲线叫做等轴双曲线.结合图形说明：时，双曲线方程变成(或，它的实轴和都等于，这时直线围成正方形，渐近线方程为.它们互相垂直且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角.B共轭双曲线（共渐近线的双曲线系）如果已知曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：或写成.这样的一组双曲线叫做互为共轭双曲线.【设计意图】通过这两类特殊的双曲线的介绍，使学生对双曲线的渐近线这一特别的概念有个深入的理解，为解决有关渐近线的综合题目做铺垫，在已知渐近线方程求双曲线标准方程式时要考虑共轭的情况.4.离心率双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率.因此越大，也越大，即渐近线的斜率的绝对值越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐
8、渐变得开阔.由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔【设计意图】通过介绍双曲线的离心率的定义，类比椭圆的离心率，明确两类圆锥曲线离心率的范围.【设计说明】本环节为和学生一起探究新知的过程，通过类比椭圆的简单几何性质得出双曲线的几何性质，为接下来应用双曲线几何性质解题做了铺垫.三、理解新知渐近线是双曲线所特有的，注意理解无限接近，但永远也达不到的意义.渐近线是双曲线的难点，结合两类特殊的双曲线去理解会比较简单，互为共轭双曲线的两条双曲线是有相同的渐近线的.双曲线的渐近线方程为：；双曲线的渐近线方程为：.四、运用新知例1 求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.解：把方程化
9、为标准方程由此可知实半轴长， 虚半轴长.，焦点的坐标是；离心率为：；渐近线方程为，.【设计意图】本例主要是考查学生对双曲线基本概念的掌握情况，进而可以由这些条件画出双曲线的草图.练习：练习1例2 双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12，上口半径为13，下口半径为25，高55. 选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1).解：如图，建立直角坐标系，圆心与原点重合.设双曲线的方程为令点C的坐标为(13, y)，则点B的坐标为(25, y55).点B、C在双曲线上，则 代入, 消y得解方程，得b25(m). 所求方程为练习：练习2，3【设计意图】本例
10、为实际问题，主要考查学生求解双曲线的标准方程的能力，将实际问题抽象出数学模型来再去通过建立适当的坐标系求出双曲线的标准方程.例3点与定点F(5,0)距离和它到定直线的距离之比是常数，求点M的轨迹方程.F2F1Hxoy分析：利用求轨迹方程的方法求解.解:设是点M到直线的距离,根据题意,所求轨迹就是集合即 所以，点M的轨迹是实轴、虚轴长分别为8、6的双曲线.由本例可知:定点F(5,0)为该双曲线的焦点,定直线为，常数为离心率1.提出问题：（从特殊到一般）将上题改为：点M(x,y)与定点F(c,0)距离和它到定直线的距离之比是常数,求点M的轨迹方程.解：设是点M到直线的距离，根据题意,所求轨迹就是集
11、合P=M|，即 化简得两边同时除以得【设计意图】通过本例引出双曲线的第二定义，为更好的理解双曲线的几何性质打下基础.APPHHF2xF1oy变式练习已知，在双曲线上求一点，使得值最小，并求出最小值.分析：解本题的关键是利用第二定义将中的进行转化.解：由题意可得，设点到右准线的距离为，则，即，所以要求的最小值，即为的最小值，由图可得最小距离为：，此时五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答：1、知识：双曲线的简单几何性质 2、思想：分类讨论的思想、数形结合的思想、特殊与一般的思想教师总结: 本节课我们学习了另一类特殊的圆锥曲线，双曲线的简单几何性质，主要是
12、通过类比椭圆的几何性质得出的，当然也有双曲线自己所独有的渐近线的相关性质，提醒学生: 在学习新知时，也要经常复习前面学过的内容,“温故而知新”在应用中增强对知识(如本节的渐近线的相关性质)的理解，及时查缺补漏,从而更好地运用知识,解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用设计意图 加强对学生学习方法的指导，做到“授人以渔”六、布置作业1阅读教材P5660；2.书面作业 必做题：课本习题2.3A组1、2、3、4本节自主学习丛书选做题：课本习题2.3B组43课外思考 如何类比直线与椭圆的位置关系来研究直线与双曲线的位置关系呢？【设计意图】设计作业1,2，是引导学生先复习，再作业，培养
13、学生良好的学习习惯.书面作业的布置，是为了让学生能够运用双曲线的简单几何性质，解决简单的数学问题；课外思考的安排，是让学生加深对双曲线几何性质的理解，通过类比、探究得出新的内容.七、教后反思1.本教案的亮点是变式训练.在例3的教学后，提出问题，由特殊到一般，得出双曲线的第二定义，变式训练又在不知不觉中提高了难度，是对第二定义的很好的应用，提高了学生的解题能力2.由于各校的情况不同，建议教师在使用本教案时灵活掌握，但必须在双曲线渐近线的探寻上下足功夫.3.本节课的弱项是由于整堂课课堂容量较大，在课堂上没有充分暴露学生的思维过程，并给予针对性地诊断与分析.八、板书设计232 双曲线的简答几何性质（1）一、 复习引入二、 探究新知1、范围、对称性2、顶点3、渐近线4、离心率运用新知例1例2例3变式训练：课堂小结作业
