电磁场理论：习题8

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1、 第八章8-1三个点电荷在真空中（1） 分别置于（1，0，0），（-1，0，0）和（0，0，1）处，（2） 分别置于（，0，0），（0。0。0）和（0，0）处，求两种情况下，系统的电场能。解：根据点电荷系统储存的静电场能公式（89），可得 对于第一种情况： = ； = ； = ，= （）对于第二种情况： = ； = = ；=。 （J）在这两种情况下，三个点电荷的相应位置没有变化，所以系统的储能不变，这说明系统的储能只与储能中电荷的相应位置有关。 82 一个点电荷放置在真空中，试用（822）式计算它的电场能。此结果与第一题有矛盾吗？如何解释？ 解：（822）式为 = （） 83。两理想导体圆板的

2、半径为a,间距为d,两板间填充介电常数为的均匀、线性电介质材料。设在处均匀分布着恒定的电压源，并保持板间电压为，考虑系统是圆对称性，且忽略边缘效应，求： 板间电场； 板间储存的总电能； 由小题的结果求该系统的电容。解：依题意，系统示意图如图所示：依题意可知，板间电场为均匀场。若设处的理想导体板的电位为，处的理想导体板电压为0，则板间电场为： = 由于所填充的介质为均匀、线性，故有： 所以，板间贮存的总电能密度为： =贮存的总电能为： 系统的电容可由电能求得，即： 所以有： 84。一半径为，高度为的理想导体圆柱，加上两个半径为的圆形理想导体板构成五损耗电感。在处，有一恒定电流供给一个总电流，在源

3、和导体柱之间充满均匀、线性磁材料，其磁导率为，假定系统是圆对称的，且忽略边缘效应，求： 板间磁场； 板间储存的总磁能； 由小题的结果求该系统的电感。 解：（有一图形） （1）由安培环路定律可得：所以 （2）板间磁能密度 故 总磁能： =（3） 由于，故电感量为：85。在两平行理想导电板中间的一半充满电导率为的均匀、线性导体块，如图所示，其余为空气。在处有一个 电压源激励这个系统，保持板间各点的电场为 忽略方向的所有变化及所有边缘效应（对于方向的宽度），求：板间磁场；矢量及功率损耗密度；矢量的简图；储存的总电能和总磁能，损耗的总功率及电源供给的总功率。 （有一图） 解：（1）忽略方向的变化，及所

4、有的边缘效应，即依题意，板间有均匀电场，故在导体内，可求得体电流分布： ，于是，在图示两区域中，磁场满足的旋度方程为： I 域：; II 域： 由对称性不难得到 带入中，得 ，因为，故可得 即与无关，故为一均匀场， 将带入中，不难求得： ，由于，故，可见，只是的函数，且所以，及均可由边界条件确定。 首先我们求系统内的总电流： 在处，边界条件为 ，这里故可求得 在处，由边界条件：，这里不难得到 ； 由处的边界条件：这里，不难得到，故 ， 再由时 可得 C=0,于是，磁场分布为： （2）玻印亭矢量为： 功率上损耗密度：（3） 玻印亭矢量间图为： (4) 因为 故故总电能同理，因为 故所以 + =，

5、所以，总电能： ；总磁能：；损耗的总功率： ；电源供给的总功率为：。 86一长为L，内径为a，外径为b的同轴电缆，在它的一个端面接有均匀、线性导电材料的平板（其面电导率为），设该同轴电缆是用理想导电材料制造的，并充以空气，在电缆的另一端接有圆对称的电源，使内、外导体之间的电压为，求：（1） 导体间空气域内的和；（2） 导体间的Poynting矢量；（3） 电源给出的总功率；（4） 负载消耗的总功率；（5） 穿过电缆截面传输的总功率；（6） 导体间储存的总电能和总磁能。解：（1）空间被分为三个部分，且因三个区域中均无电荷分布，故电位均满足拉普拉斯方程，即：I. ;II. ;III. . 系统的边

6、界条件为：有项限；。（有图形）根据上述边界条件可看出，系统的电位只与有关，故可选解为：，考虑到边界条件1）和2），有 带入边界条件可解得： 。所以电位分布为： 电场分布为：处导体片上的面电流为：系统中的总电流为：由积分场定律，不难求得域中的磁场，由对称性知：且 于是可得：而域的磁场因为域中无电流，故可由积分场定律得： 域中的磁场因导体和外导体上的电流等值反向，故所围的静电流量为零，于是积分场定律也不难求得： 最后，空间的磁场分布为： （2）玻印亭矢量为：（3）电源提供的总功率：（4） 系统损耗的总功率为：（5） 穿过电缆横截面传输的总功率为： (4)导体间储存的总电能和总磁能为： ；。 87。

7、同轴电缆的内导体用均匀、线性导电材料制成（电导率为），外导体为理想导体，电缆的一端短路，另一端与直流电源联接（假定圆对称）求：（1） 两导体间空气域和内导体里的和场；（2） 电缆横截面上Poynting矢量的面积分；（3） 内导体上的Poynting矢量；（4） 进入单位长内导体的Poynting矢量的通量；（5） 单位长度上内导体消耗的功率。 （有一图）解：（1）由于系统具有圆对称性，故系统与无关，但与有关，在如图所示的两个区域中，电位满足拉普拉斯方程，即： ：； ：此时由于与无关，与有关，故可将其试探巨解选为：系统边界条件为： 有限； ； ； ； ； ； 即 由条件知： ；将边界条件代入：

8、由得： ; ,由得：，由得：， 由得：，由得：,由 得：自然满足。从上述条件最终可解得： 中的电流为： 磁场可由安培环路定律求得： 由系统对称性及可知，具有分量：=; 可解得： 由对称性知，只有分量。 ， 即由边界条件：， 可得： ，。 （2）玻印亭矢量为：电缆横截面玻截面玻印恒矢量的面积分为：= ；（3） 内导体中的玻印亭矢量：（4） 进入单位内导体的玻印亭矢量的通量：= （5）单位长度上内导体消耗的功率：。 88在理想电解质的球面上均匀分布着电荷。该球以恒定角速度绕它的轴自旋，由此产生磁偶及子乘场。计算球外的Poynting矢量，并证明它满足Poynting定理。 解：（有一图）在区域和区

9、域中，所以可以使用磁标位，即满足方程。 设球面上的电荷总量为Q,则球外的电场为： 根据（721）题的结论。而电流：， 边界条件 由条件（1）可以知道，磁场的Q分量应按分布，而磁场的分量是由磁标位为求导得到的，因此，应该按规律分布，所以可取： 最后可得： 其中 = （） ,同时，系统是一个与时间无关的系统。所以，而电磁场对电磁荷所作的功亦为零，即。 将结果代入玻印亭定理中，即有：，故符合Poynting定理。 89。在一个球面上电荷的面密度为：，它在球外产生电偶极子场，在内部产生一均匀场，球面位于真空中，求：(1) 球内储存的电场能和电能，(2) 球外储存的电场能和电能，(3) 由电位和电荷分布计算系统储存的总电场能和总电能。 解：在、域中 ， 有限； 。选解： ，。可解得： ； ； ； = 。8-10 试用电能求出713题中电容器的电容量。 解：在713题中，根据，即电流应是恒定的。 故由系统对称性可知，其中为常数。故 ；故 ；故 ； 故 ；因 ，故 ， 故 。 811有一个圆柱形的电阻器，试用能量方法计算它在直流情况下的电容量和电感量（电阻外的场不计） 解：（有一图） 因为在 的区域内，电场是均匀的，所以，故 。因 故 。 利用场的积分定律求。根据右手螺旋法则，只有分量，且只与有关。 故，其中，C,S分别为如图所示。故 =,故 ，因 ， （亨利）。 （习题八完）