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1、目 录1 引言12 文献综述12.1国内外研究现状12.2国内外研究现状评价22.3 提出问题23 数形结合的概述24 数形结合在高中二次函数中的运用34.1运用数形结合研究二次函数的性质34.2 数形结合在二次函数与相关知识中的综合运用44.2.1利用二次函数图象讨论一元二次不等式的解44.2.2利用二次函数图象讨论二次方程根的分布问题44.2.3利用二次函数图象讨论特殊三角函数式64.2.4巧用二次函数图象讨论含绝对值的二次函数问题84.2.5巧用二次函数图象讨论等差数列求和问题94.2.6巧用二次函数图象讨论二次函数与对数函数的复合问题114.2.7巧用二次函数图象讨论二次函数与一次函数
2、的交汇问题134.3运用数形结合求解问题误区的探讨145结论165.1主要发现165.2启示和意义165.3局限性165.4努力方向176参考文献18 1引言 数学是一种古老而又年轻的文化，人类从蛮荒时代的结绳计数，到如今用电子计算机指挥宇宙航行，无时无刻不受到数形结合思想的恩惠和影响.进入21世纪，我国数学课程中关于数学学习的理念发生了深刻地变化，数学教学的主要目的和任务早已不是简单的知识和方法的传授，而是通过数学学习在传授知识与方法的同时培养学生的数学能力.在促进学生数学学习过程中，加强数与形的结合,能化繁为简，对于帮助学生开阔思路,突破思维定势有积极的作用，能加深学生对知识的理解.二次函
3、数是初高中教材中一个重要的内容，同时二次函数也是高考命题的重点，如何让学生对二次函数了解更加的深刻透彻.本论文运用数形结合思想对高中二次函数做了更深一步的研究，主要有运用数形结合研究二次函数的性质、利用二次函数图象讨论一元二不等式的解、利用二次函数图象讨论二次方程根的分布问题、利用二次函数图象讨论特殊三角函数式、巧用二次函数图象讨论含绝对值的二次函数问题、巧用二次函数图象讨论等差数列求和问题、巧用二次函数图象讨论二次函数与对数函数的复合问题、巧用二次函数图象讨论二次函数与一次函数的交汇问题和运用数形结合求解问题误区的探讨这几个方面论述.2文献综述2.1国内外研究现状查阅相关文献，众多数学教育者
4、从不同角度和侧面探讨了数形结合在教学、解题及函数中的应用.王丰霞在文献1中浅谈了构造数形结合培养创新思维.张冰、杨光在文献2-3中浅谈了数形结合的概念及培养学生数形结合的兴趣.孙雪梅、王雨来、朴林玉等在文献4-6中浅谈了数形结合在解题中的应用.周建涛，姚爱梅在文献7-8中讲了高中数学教学中数形结合的有效应用.李德军在文献9中讲了二次函数在高中数学教学中的应用.曹学才、杨渭清、李一淳等人分别在文献10-18中谈论了数形结合思想可以在许多知识中都有应用.张武在文献19中对“数形结合”解题误区的认识与思考给出了自己独特的见解.2.2国内外研究现状评价在所查阅到的国内外参考文献1-19中，教育者们对数
5、形结合在二次函数中只针对二次函数中的某一问题作了相应的介绍，并未给出较为深入系统的研究.数形结合思想在高中二次函数中的应用非常广泛，对数形结合在高中二次函数中的综合应用进行深入研究，使之形成完整的体系，对今后利用数形结合思想在二次函数教学、解题及其在高考中的应用具有重要的意义.2.3提出问题数学结合不仅是一种重要的解题方法，而且是一种基本的、重要的数学思想.同时二次函数也是高中比较重要的一个内容，为了促进学生对这种思想方法在高中二次函数中的综合应用，数学教师应该怎样在二次函数教学及二次函数与其他知识综合中渗透这种思想方法呢？本论文在参考相关文献的基础上对这个问题进行了系统的阐述. 3数形结合的
6、概述数学研究的对象可以分为两个方面，一个方面是数，一个方面是形，但是数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合，他们是数学的两大基石.我国著名数学家华罗庚先生指出：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.“数”与“形”反映了事物两个方面的属性,我们认为:数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.【2】【3】 在数学思想中，数形结合的思想从渗透到形成和应用，经历了三个主要阶段：(1)
7、数-形对应：它是数形结合的基础.主要通过初中、高一、高二、高三阶段的学习逐步领悟和掌握的.(2)数-形转化：它体现了数与形的关系在解决问题的过程中，如何作为一种方法而得到运用的.在新授课时这类例子已相当普遍（例如解法、图解法等）. (3)数-形分工：这里指的是把应用数形结合思想作为解决问题过程中的一种策略，是数学规律性与灵活性的融合.从内容上看，数形结合的渠道主要有：(1)平面几何中的一些算法（主要是与解三角形有关的计算）；(2)解析几何中点与坐标、曲线与方程、区域（区间）与不等式的对应；在数学中，数形结合的具体方法有：解析法、三角法、图解法等；(3)函数与它的图象以及有相关的几何变换：(4)
8、三角函数的概念：负数的几何意义.4 数形结合在高中二次函数中的运用4.1运用数形结合研究二次函数的性质 数形结合是一种重要的教学思想方法，它在数学教学中主要表现在把抽象的数量关系，转化为适当的几何图形，从图形的直观特征发现数量之间存在的联系，以达到化难为易、化繁为简、化隐为显的目的，使问题简捷的得以解决.而函数在初高中数学教学中占了很主要部分，学好二次函数对于学好数学也就至关重要了.下面主要从三个方面进行阐述.(1)利用二次函数理加深解函数概念.初中讲述了函数的定义、一次函数、正比列函数、反比例函数，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着学习了函数概念，主要是用映射观点来阐述函数，这时
9、就可以用学生已经了解地函数，特别是二次函数来加以更深刻的认识函数的概念.二次函数是从一个集合B（定义域）到集合C（值域）上的映射:使得集合C中的元素(a0）与集合B的元素x对应，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识.(2)利用二次函数的图象研究与二次函数有关的函数性质.在高中学习单调性时，必须要对二次函数（a0）在区间(-，及k,+)上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严格理论的基础上，进一步利用函数图象的直观性，使学生逐步自觉的利用二次函数的图象研究其他函数的最值.(3)利用二次函数三个二次关系的知识训练数学思维.作为二次函数，它有丰富的内涵和外延.作为最基本的幂函数，可以以
10、它做代表来研究函数，二次函数可以与三角函数、等差数列求和、不等式等建立起联系，可以编出各种各样的数学问题，考查学生的基础知识.【9】4.2 数形结合在二次函数与相关知识中的综合运用4.2.1利用二次函数的图象讨论一元二次不等式的解 二次函数（a0）与的相互位置关系有三种情况.利用二次函数图象讨论二次函数与一元二次不等式的关系.(1)当时，二次函数与轴有两个交点，不等式解集是| ，不等式的解集是| .(2)当时，二次函数与轴有1个交点，不等式的解集是| - ，不等式的解集是空集.(3)当时, 二次函数与轴没有交点，不等式的解集是，不等式的解集.对于二次项系数是负数（ 即0 )，可以把二次项系数化
11、成正数，然后在按照上面的形式三种形式比较.例1任意实数, 不等式(2m - 1)x2+(m +1)x+m -40 都成立，求 m 的范围. 分析：右图说明为任意实数时 都成立,解这个问题时，常感到无从下手.其原因是单纯从代数角度及不等式本身考虑时很抽象,很难找到解决问题的切入点.如果结合图象考虑,可以发现：(1)图象与x轴没有交点；(2)抛物线的开口上. 图1 解：由题意得不等式组： 解得 m 5 时，x 为任意实数，原不等式都成立 评析：通过图象可以知道开口向上，并且它与x轴没有交点，由此可以根据二次函数的判别式解决此题.4.2.2利用二次函数图象讨论二次方程根的分布问题一元二次方程ax2+
12、bx+c（a0）的根与判别式=b2-4ac有关系，它的解按照,分为三种情况，二次函数y= ax2+bx+c（a0）与x轴的交点也有三种情况，下面讨论一下二次函数与一元二次方程之间的关系.（1）时,二次函数的图象与x轴有两个交点(x1 ,0),(x2 ,0),相应的一元二次方程有两个不等的实数根, 。（2）时，二次函数的图象与x轴有唯一的交点(x1 ,0) ,相应的一元二次方程有两个相等的实数根.(3)时，二次函数的图象与x轴没有交点，相应的一元二次方程没有实数根. 根据二次函数(a0)与 轴的交点情况就可以确定方程的实根的情况,即通过 与的相互转化,利用函数 = 0的图象可以直观解决问题例2
13、a为何值时,方程 2 a 2 + 2a+1-a2=0的两根在( - 1,1)之内？ 图2 分析：显然 a20,我们可从已知方程联想到相应的二次函数的草图,从图象上我们可以看出,要使抛物线与x轴的两个交点在(-1,1)之间必须满足条件： 即从而可解得a的取值范围为a 或 a-且 a 1.例3 已知方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0的两个实数根满足0x11x20,如图3所示，要使0x11x22必须有 解得-2k-1或 3k4. 在解一元二次方程问题时，我们有些时候感到无从下手. 这时候我们可以利用二次函数的草图，把一元二次方程和二次函数结合起来，一元二次方程问题就很容易解决.4.2.3利
14、用二次函数的图象讨论特殊三角函数式三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数.它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射.通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义为整个实数域.高中重点研究过三角函数的单调性，且有同一角的正弦值平方加余弦值平方和为1.所以特殊三角函数式经常与二次函数的单调性,有界性等相结合.即利用三角函数的性质进行转化.例4求函数y=sinm-cosm+sinmcosm的最值. 分析：本题可设sinm-cosm=n,再借助关系（sinm-cosm）2 =1-2sinmcosm将sinmcosm也用n表示，从而可将原函数转化为关于n的二次函数问题. 解设sinm-cosm=n（n(）,则sinmcosm=.于是原函数可化为y=,n(.n=-时，;当n=1时,=1 例5已知函数，= 2nsint 2cos2t + -4n+3,n(-,2的最小值为n2+1,求函数的最大值及取得最大值时的t值. 分析：首先要统一变元，由于有正弦一次项，故cos2t要化为1-sin2t,若再设m=sint,则y=2m2+2mn+-4n+1,m-1,1.问题转化为求闭区间-1,1上的一个二次函数的最值问题.这类问题首先要讨论对称轴与闭区间的相对位置.
