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1、342 基本不等式的应用 导学目标：会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题和实际应用问题。教学重点：基本不等式在最值问题中的应用和简单实际应用。教学过程：一、问题情境：在问题“已知， ，且，求的最小值”的求解中，小明同学给出了如下的解法：解：由，得，。思考：你认为小明同学的做法对不对？为什么？因为两个不等式中，不能同时取“等号”，即不存在满足题设条件的，使得。你能给出正确的解法吗？你有几种解法？解：方法一：， ，。当且仅当，又。即，时，上式“=”号成立。故当，时，则的最小值为。方法二：由，得，又知，。，从而，即的最小值为。解法三：由， ，且，得当且仅当即时，。思维提升： 基本不等式的功能在于
2、“和与积”的相互转化，使用基本不等式求最值时，给定的形式不一定能直接适合基本不等式，往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑和或积为定值的形式)，构造出基本不等式的形式再进行求解基本不等式成立的条件是“一正、二定、三相等”，“三相等”就是必须验证等号成立的条件二、自主检测： .，叫做这个数的算术平均数，叫做这个数的几何平均数。2.根据课本98页图3-4-1，你能给出基本不等式的几何解释吗？答：“圆的半径不小于半弦”。因此基本不等式还可以用几何方法证明。3一些常用的重要不等式及其变形：；，以上公式均当且仅当时等号成立。4基本不等式在最值问题中的应用：当（定值）时，有最小值，有最小值（当且仅当时，取得最
3、值）；当（定值）时，有最大值；当（定值）时，有最大值（当且仅当时，取得最值）。三、探究活动：探究一利用基本不等式求最值例1已知lg(3x)lg ylg(xy1)(1)求xy的最小值； (2)求xy的最小值解 由lg(3x)lg ylg(xy1)，得(1)x0，y0，3xyxy121.3xy210.即3()2210.(31)(1)0.1.xy1.当且仅当xy1时，等号成立xy的最小值为1.(2)x0，y0，xy13xy32.3(xy)24(xy)40.3(xy)2(xy)20.xy2.当且仅当xy1时取等号，xy的最小值为2.探究提高 利用基本不等式的办法构造关于所求变量的不等式解决变量的最值问
4、题。例2已知函数f(x)(aR)，若对于任意的xN*，f(x)3恒成立，则a的取值范围是_解析令f(x)3(xN*)，则(3a)xx28，即3ax.x24，当且仅当x2时取等号，但由于xN*，当x3时，x取最小值3，于是3a3，即a.探究提高不等式恒成立问题一般要利用函数的值域，mf(x)恒成立，只需mf(x)min.探究二基本不等式的实际应用例3.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，要使这两项费用之和最小，仓库应建立在距离车站_km处解析依题意，
5、设y1，y2k2d，则有2，8k210，即有k120，k2，从而这两项费用之和yy1y2d2 8万元，当且仅当即d5 km时，这两项费用之和最小注：1.用基本不等式解应用题的思维程序为：2在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：(1)先理解题意，设变量，一般把要求最值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数最值问题；(3)在定义域内求函数最值；(4)正确写出答案四、课堂小结：1a2b22ab对a、bR都成立；成立的条件是a0，b0；2成立的条件是ab0，即a，b同号解题时注意配凑技巧和变形使用。2利用基本不等式求最值必须关注“一正、二定、三相等”三个条件，并且和
6、为定值时，积有最大值，积为定值时，和有最小值3使用基本不等式求最值时，若等号不成立，应改用函数的单调性法一般地函数yax，当a0，b0时，函数在(，0)，(0，)上是增函数；当a0时，函数在(，0)，(0，)上是减函数；当a0，b0时函数在，上是减函数，在，上是增函数；当a0，b0时，可作如下变形：y来解决最值问题五、课堂检测：1. 下列不等式一定成立的序号是 。； ；解析：答案为2设x，yR，a1，b1，若axby3，ab2，则的最大值为_解析：答案为1.由axby3得：xloga3，ylogb3，由a1，b1知x0，y0，log3alog3blog3ablog321，当且仅当ab时“”号成
7、立，则的最大值为1.3. 已知f(x)32x(k1)3x2，当xR时，若f(x)恒为正值，则k的取值范围是_解析：(，12). f(x)0，即32x(k1)3x20，k13x.xR，3x0，3x2，当且仅当3x时取等号从而k12.4某家庭用.万元购买了一辆汽车，使用中维修费用逐年上升，第年维修费用约为.万元，每年其他费用为.万元。报废最小指的是购车费、维修费及其他费用之和平均值最小，则这辆车应在 年后报废损失最小。解析：答案为12.六、融会贯通：1的最小值为 2已知正项等比数列an满足：a7a62a5，若存在两项am，an使得4a1，则的最小值为_解析：. 由a7a62a5，得a5q2a5q2
8、a5，又a50，q0，所以q2q2，解为q2.于是由4a1，得mn6，所以(mn)(54)，当且仅当n2m，即m2，n4时等号成立，故min.3. 直线x+ay+1=0与直线(a+1)x-by+3=0互相垂直，a,bR，且ab0,则|ab|的最小值是 . 4.函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为 .5已知二次函数f(x)ax22xc(xR)的值域为0，)，则的最小值为_解析：4. 由题可得a0，c0，且224ac0即ac1.所以ac22，当且仅当ac1时取等号所以aca2c2ac(ac)2(ac)2，当且仅当ac1时，min22224.6一批货物随17列货车从A市以匀速直达B市，已知两地间铁路线长400, 为了安全，两列货车间的距离不得少于，那么这批货物全部运到B市最快需要 解析：8.
