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1、BG圆与三角函数的有关计算和证明【学习目标】1、熟练掌握圆中有关的证明与计算；2、能熟练运用三角函数；3、能从复杂图形中识别常用的基本图形。【典例分析】一、以等腰三角形的腰为直径作圆，过底边中点作另一腰的垂线构切线例1、如图，在 ABC中，AB= AG以AB为直径的。交BC于D,交CA的延长线于 F, D已AC于E.c(1)求证：DE为。的切线；(2)若 AB= 5, AF= 3,求 tanC 的值.练习1、如图， ABC中，AB=AC以AB为直径的。交BC于D点，DE!AC于点(1)求证：DE是。的切线;(2)连接 OE交。于 F,连接 DF,若 tan/EDF=l,求 cos/DEF的值.
2、 W / 2O F F练习2、在RtzXABC中，/ACB=90, D是AB边上一点，以BD为直径的。0与边人颜冰 于点E ,连结DE并延长，与BC的延长线交于点 F .二 _ /A(1)求证：BD = BF ； (2)若 BC =6, AD = 4,求 sin / CEFJD练习3、如图，在 ABC中，AB=AC以AB为直径的。O分别交AG BC于点中，泮AC的延长线上，且/ CBF=1 Z CAB.1 O .TE(1)求证：直线 BF是。的切线；(2)若AB=5, sin/CBF=Z5,求线段BF修； 心F ”迫5变式1、如图，AB为。的直径，AC为。的弦，/ BAC的平分线交。于点D,
3、DE (1)求证：DE为。O的切线；(2)连接。或 AD于点F,连接BD,若cos / BAC=4 ,求OF的值.变式2、如图1, AB是。的直径，AD是弦，点E是弧BD上一点，EFAD于点 口任EF单Q。的)月切线.12,二、(1)求证：弧 DE哪 BE; (2)连接 BE,若 tan / DAB=,求 tan / B 的值./ 二、(圆中的三个二分之一) 已知：如图，AB是半圆O的直径，点E是半圆。上助点(不与 阂B 重合)，点C是弧BE的中点，连接BE、AC交于点G,过点C作CDL AB于点D,交BE于F然。求小 (1)CD=?BE; (2)CF=?BG (3)DF= ?EG例 2、如图
4、，RtAABCK , /ACD=90 ,以 AB 为直径作。Q F 是。上一点， AC= FC, CDL AB 于点D,连AF分别交CD BC于E、G两点，连接 CF。 1 CG/二一.(1)求证： AC AFC (2)若 sin / DAE ,求生。f 练习1、如图，AB是。的直径，C是弧BD的中点，CE!AB,垂足为E, BD交CE上年电六节 (1)求证：CF=BF (2)若 cos/BAD=l,。的半径为 3,求 BC 的长.1练习2、如图，AABC内接于。Q AB为直径，弦CE_LAB于F , C是AD的中点，连结 Bp并延长交EC的延长线于点 G ,连结AD ,分别交CE、BC于点P
5、、Q。(1)求证：P 是 AACQ 的外心；(2)若 tanzABC =3 ,CF =8,求 CQ 的长。4三、切割线型：从圆外一点同时引圆的切线和过圆心的割线例3、如图，Aa OO勺直径，PAAG BO OO勺一条弦，直线 P皎直线ACF点D,DB DC 尸DP - D(1)求证：直线 PB是。的切线；(2)若AC= CD= 2,求cos/BCA的值.练习1、如图，四边形 ABC*接于。0, AC是。的直径，AB= BD, BD交ACB.BE/交AC和延长线于E.(1)求证：BE是。的切线；(2)若AC= 8, PC= 1,求tan/CBD的值.练习2、已知：如图，在矩形ABCD中，点0在对
6、角线BD上，以01A长的半与AD, BD分别交于点E、点F,且/ ABE=/ DBC .(1)判断直线BE与。O的位置关系，并证明你的结论;.3，(2)右 sin/ABE =,CD =2,求。O 的半径.3练习3、如图，D是。0的直径CA延长线上一点，点 B在。0上，且AB=AD=A0(1)求证：BD是。的切线;2(2)若E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F, 4BEF的面积为8,且CCs/BFA = ,求 ACF3的面积。四、角平分线型：过圆周角的角平分线与圆的交点或弧的中点引圆的切线例4、如图，在 RtABC中，/ C=90 , / BAC的平分线 AD交BC于D,点AB两点的。0交A
7、B于E.求证：BC是。的切线；若tanB=3 ,求cos/ADC .4练习1、如图，AB是。0的直径，点C是。0上任意一点，点D是观省C出她/FBDH AC,交AC的延长线于点 E, I是4ABD的内心，连结DI并延长交。(1)求证：DE是。的切线；(2)若tan/BAD，CE= 2,求DF的长.a一02练习2、如图，在 ABC中，/ C为直角，BD平分/ ABC交AC于D.在AB点D.在AB上取一点0,以点0为圆心作经过 RE、F,连 DE EF, EF交 BD于 G.求证：AC与。相切；若 DE=2 BG=3求sin / A.五、切线长型：从圆外一点引圆的两条切线，已知一条求证另一条P例5
8、、如图，AB是半圆(圆心为O)的直径，OD是半彳至,BM切半圆于B,OC与弦AD平行且交BM一力于C。(1)求证：CD是半圆的切线；(2)若AB长为4,点D为弧AE的中点 求sin /O练习1、如图，AB是。的直径，P为AB的延长线上的点， PD与。相切于点 D, C在。PC=PD.证明PC与。相切；过A作AE, PC于E.连BC,若sin /EPA1,。的半径为3,求BC的长. 3练习2、已知：如图，O。是 ABC的外接圆，AB为。直径，且PA,PCA , PO AC 于点 M .(1)求证：PC是。的切线；(2)当OM=T2, cosB二匹时，求PC卧O 一C BD, CD的延长线与BE的
9、延长线交于A点.ABO练习3、已知：如图，BE是。的直径，CB与。相切于点B, OC/ DE亵。牙徐(1)求证：AC是。的切线;(2)若 AD= 4, CA6,求 tan / ADE的值.六、以直角三角形的一直角边为直径做圆，连接另一直角边的中点与圆和斜边的交点构切线例6、如图，以RtABC的直角边 AC为直径作。Q 交AB于D点，0日/ AB交BC5.,FFADE于E点。(1)求证：DE为。的切线.(2)若cos/OED =3 OA=/5求：s5练习1、如图，RtABE中，ABAE以AB为直径作。O,交BE于C,弦CDL E为AE上一点，连FC,则FC = FE(1)求证CF是。的切线;(2)已知点P为。上一点，且tan/APD =,连CP,求sin / CP2- 一BD练习2、已知：如图，AB是。的直径，BC切O于B, AC交 于P, D为BC边的OO中点，连结DP. DP是。的切线；（2）若cosa=3,。的半径为5,求DP的长. 5练习3、以RtABC的直角边AB为直径的。O交斜边AC于点D,点E是BC的中点，连DE.判断DE与。的位置关系，并证明；连AE,过D作DFLAB于点F,交AE于点G.若AC=1Q tanC=-3
