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1、附件6（说明：本参照案例主要提供结构和形式方面的参照）案例名称：错在哪里？“代入消元法”引发的解题风波专业学位类别：教育专业领域：学科教学（数学）适用课程：中学数学解题研究、数学教学设计与实施作者姓名：*工作单位：*错在哪里?“代入消元法”引发的解题风波摘要：“掌握数学意味着善于解题”，解题教学是高中数学教学的重要组成部分。解题离不开逻辑推理和数学运算，在发展学生核心素养的同时，加强教师的逻辑推理素养迫在眉睫。在2009年高考数学全国卷I理科22题的解题教学中，H老师被学生的疑惑”解题方法相同，但消b和消C的结果为何不同”挂在了黑板上。案例通过风波骤起、同伴助力、风波再起、现状调查、教研组研讨
2、五个环节，呈现了H老师面对课堂生成资源逐步解决问题的过程，描绘了高考数学压轴题解题教学对师生带来的挑战，也展现了教师专业成长的路径。关键词：解题教学、代入消元法、逻辑推理、本体性知识What,swrong一ProblemsolvingstormcausedbynSubstitutioneliminationmethodnAbstract:Masteringmathematicsmeansbeinggoodatsolvingproblems,andproblemsolvingteachingisanimportantpartofmathematicsteachinginseniorhighsch
3、ool.Problemsolvingisinseparablefromlogicalreasoningandmathematicaloperation.Whiledevelopingstudents*coreliteracy,itisurgenttostrengthenteacherslogicalreasoningliteracy.Intheproblem-solvingteachingof22questionsinScienceinnationalmathematicsvolumeIofthenationalcollegeentranceexaminationin2009,teacherh
4、washungontheblackboardbythestudentsdoubtthatutheproblem-solvingmethodsarethesame,butwhytheresultsofeliminatingBandCaredifferent.Throughthefivelinksofsuddenstorm,peerassistance,resurgenceofstorm,currentsituationinvestigationanddiscussionofteachingandresearchgroup,thecaseshowstheprocessofteacherhgradu
5、allysolvingproblemsinthefaceofclassroomgeneratedresources,describesthechallengesbroughtbytheproblem-solvingteachingofthefinalaxisofmathematicsinthecollegeentranceexaminationtoteachersandstudents,andalsoshowsthepathofteachersprofessionalgrowth.Keywords:Problem-solvingteaching；Substitutioneliminationm
6、ethod；Logicalreasoning；Ontologicalknowledge作者简介：*,另，*人，*师危大学*学院教授，研究领域：课程与教学论，数学教If技术，教师教育。编制说明：按照调研学校及当事人的要求，作者对案例涉及名称、人员及相关数据等，做了必要的掩饰性处理。背景信息解题教学是高中数学教学的重要组成部分。波利亚曾说过：“掌握数学就意味着善于解题”“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练”。然而，当下的高中数学解题教学在应试的背景下往往被异化为题海战术，教学中师生往往重视“数学运算”而忽视逻辑推理，学生解题时知其然不知其所以然的现象普遍存在，这对培养学生的理性思维和科学精神是
7、极其有害。特别地，在高考数学压轴题的教学中，由于题目难度非常大，一些教师常常是照着答案进行讲解，学生也是不明就里，仅停留在模仿这种最低的认知层次。更严重地是，对于不少的高考数学压轴题，相当多的高中数学教师自己也不会解答的现象普遍存在，从而也就更谈不上进行有效的解题教学了。解数学题离不开逻辑推理和数学运算，逻辑推理和数学运算是普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）（后文简称课标）中的两大核心素养。对于逻辑推理，课标希望：“通过高中数学课程的学习，学生能掌握逻辑推理的基本形式，学会有逻辑地思考问题；能够在比较复杂的情境中把握事物之间的关联，把握事物发展的脉络；形成重论据、有条理、合乎逻
8、辑的思维品质和理性精神”。关于什么是数学运算，课标指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养。数学运算主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等。现实中，数学教师常说学生的运算能力差，其含义究竟是什么？这种现象是怎么造成的？推理是数学的命根子，运算是数学的童子功，那么数学运算和逻辑推理之间是怎样的关系？应该如何发展学生的数学运算素养和逻辑推理素养？求多元函数在一定条件下的最值是高中数学的一类重要问题，由于其涉及的知识点多、难度大，可以很好的区分学生的思维层次，因此该题型几乎是每年高考数学试卷中的压轴常客。其常用的
9、求解思路有二：一是先消元再求解；二是不消元直接求解（例如用基本不等式直接求出多元函数的最值）。就消元求解而言，通常是根据条件（等式或者不等式）进行代入消元，减少变量的个数，从而达到简化问题的目的。然而，学生面对多个元时常常会出现许多问题，如消去哪些元？如何消？消掉的元还有作用吗？其作用体现在哪里？剩下的元之间的关系是独立还是不独立？这诸多的问题往往令学生捋不清头绪，于是只能盲目地进行数学运算，甚至出错了也浑然不知。教师知识包括本体性知识、实践性知识和条件性知识三个部分。本案例中，导致教师在教学过程中反复出现尴尬局面，其根本原因是教师本体性知识的不足。本体性知识是指教师知识中的学科知识，它在教师
10、的专业发展中处于基础性地位。俗话说得好：要教给学生一碗水，需要教师有一桶水，甚至是长流水。因此教师必须具备厚实的本体性知识方可从容面对课堂中所产生的生成性问题。然而糟糕地是，面对高中数学知识范围广、深度大，难度高的特点，部分一线教师的本体性知识并没有达到高中数学教学对教师的要求，因此有效提升教师的本体性知识对教学而言是至关重要。M中学是云南省一所一级一等高级中学，创建于1905年，占地面积200余亩。M中学历史悠久，文化底蕴深厚，其教育教学的高质量和学生的全面发展得到了社会的广泛认可。本案例中的主人公H老师有五年教龄，今年是第二次教高三。在2009年高考数学全国卷I理科22题的解题教学中，H老
11、师被学生的疑惑”解题方法相同，消b和消C的结果为何不同”挂在了黑板上。本案例通过风波骤起一一发现出错了、同伴助力一一寻找错因、风波再起一一应该怎么解、现状调查一一令人担忧的结果、教研组研讨一一探索一般解法五个环节，呈现了H老师面对课堂生成性资源逐步解决问题的过程，描绘了高考数学压轴题解题教学对师生带来的挑战，以引起教师对本体性知识的重视，引发教师对专业成长的思考。正文1.风波骤起用相同方法，消不同参数，结果竟不同?11月的一天，在M中学高三(3)班的数学课上，工作了五年的H老师正在进行解题教学。该班学生正在进行高考数学第一轮复习，函数与导数部分已复习完毕。H老师首先在屏幕上投影出题目，具体题目
12、如下：(2009年高考数学全国卷I理科第22题)已知函数/(%)=%3+3bx2+34有两个极值点X2f且%T0,X21/2O(I)求b,C满足的约束条件，并且在图1所示的坐标平面内，画出满足这些条件的点(瓦C)的区域；(II)证明：一10(%2)-图12009年高考数学全国卷I理科第22题图接下来H老师让学生独立思考，自行解答问题。解：(I)由题知,(x)=3x2+6bx+3c。因为f(x)有两个极值点二,X2所以方程/(%)=O有两个实数根%1,2=-8析(b2-cO),几乎所有学生都做到了这一步。接下来，一部分学生根据两根的范围-1,0,x22,直接得出从C满足的约束条件f一感2一c0,
13、然而由于该无理不等式组比较复杂，很难化简得出点(瓦C)所在的区域，只好不了了之。/(T)O另一部分学生运用数学形结合，把问题转化为即得b,c满足的约束、/(2)0rc2b1条件为IcJ09.1,故所求区域为图2中的阴影部分四边形ABC。c-2b一1。4b4图2H老师在总结时强调了转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，并提醒学生在解题时要注意思维的灵活性。(11):(在大家独立思考后，H老师请数学科代表分析解题思路。)科代表：由题知/(%2)=螃+3b熠+3c%2，问题等价于求f(%2)的值域。因为函数%2)是关于%2、b、C的三元函数，自变量比较多，所以要通过消元去减少自变量的个数。于是应该
14、去寻找2、匕、C间的等量关系，注意到不是/(%)的极值点，所以,(x2)=3后+6bx2+3C=0，接下来把条件等式3据+6bx2+3c=0代入到目标函数f(%2)=琥+3bxf+3ca中，从而达到消元的目的。H老师：那消谁呢？众学生：一些学生说消仄一些学生说消c,声音此起彼伏。H老师：为什么消仄消c,而不消不呢？学生1：条件等式3环+66%2+3。=0是关于从C的一次式，可以很容易解出b或者c,再代入目标函数/()=球+3b/+3c%2即可得到二元函数；而条件等式3据+6bx2+3c=0是关于冷的二次式，解出来再代入比较麻烦。H老师：学生1分析得很透彻，消氏C要简单一些，接下来我们就消b吧！
15、方法1(消参数b)H老师：移项得b%2=-据一;C,把。工2代入函数%2)中化简得f(%2)=-琥+ICX2,这是一个关于C和%2的二元函数，接下来怎么求人小)的值域呢？学生2：把f(%2)看作是关于%2的三次函数(C看作参数)，则可以用求导的方法来判定八七)的单调性，进而解决问题。由于(%2)=|慰+C,由第(I)问可知一2C0,从而/(工2)0，于是/(不)单调递减。又因为所以-4+3c=(2)Q2)(1)=-T+;CoH老师：接下来怎么做？学生2：分别求出一4+3c的最小值、一3+,c的最大值即可。由于一4+3c和一：+)都关于C单调递增，因此将C的最小值-2代入-4+3C得到“2)的最小值-10；将C的最大值0代入一，IC得到/(2)最大值一会从而_10/3)-点证毕。H老师：学生2思路很清晰，完美地解答了本题。下面我们来看另外一道题目。(H老师话音未落，一些学生叫道：我做出来的怎么不是这样的！)H老师：请学生3说说是怎么回事。方法2(消参数c)：学生3：老师，我消的是c,方法也是一样的，但做出来的结果是-16(2)1,跟消b做出来的不一样。H老师：学生3,不可能吧，方法相同，结果怎么会不同呢？会不会是你哪里算错了？学生4：老师，我消的是c,做出来的结果跟学生3是相同的。
