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1、江苏省20122013学年第二学期期初质量检查高三数学试题 2013年2月19日注意事项：请将本试卷所有试题的答案写在答卷上的指定题号的位置，在其它位置作答一律无效.一填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1已知，为虚数单位，且，则 。 2用一组样本数据8，10，11，9来估计总体的标准差，若该组样本数据的平均数为10，则总体标准差 .3阅读下列程序: S1For I from 1 to 5 step 2SS+I End forPrint S End输出的结果是 4巳知函数的两个不同的零点为，且方程有两个不同的实根.若这四个数按从小到大构成等差数列，则实数m的值为 5. 有2个人在一
2、座7层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这2个人在不同层离开的概率为 6. 在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，给出如下四个结论：；整数属于同一“类”的充要条件是“”其中，正确结论的个数为 7.过平面区域内一点作圆的两条切线，切点分别为，记，则当最小时 8正三角形边长为2，设，则 9.如下图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：，则第行第3个数字是 xy12第10题10若函数，其图象如上图所示，则 11定义在上的函数满足，则的值为 12已知正
3、数x，y满足(1x)(12y)2，则4xy的最小值是_ .13已知数列满足（为常数，），若，则 14已知函数存在整数零点的恰有3个，则M0的取值范围是 二.解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（本题满分14分）在中，角所对的边分别为已知（1）求角的大小；（2）求的最大值16（本题满分14分）在四棱锥中，底面是正方形， 为的中点. （1）求证：平面；（2）求证：；（3）若在线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由17（本题满分14分）如图,有三个生活小区(均可看成点)分别位于三点处,到线段的距离,(本题约定：). 今计划建一个生活垃圾中转站,为方便运输,准
4、备建在线段(不含端点)上. （1）设,试将到三个小区距离的最远者表示为的函数,并求的最小值；（2） 设,试将到三个小区的距离之和表示为的函数,并确定当取何值时,可使最小?18（本题满分16分）如图,是椭圆的左、右顶点,椭圆的离心率为,右准线的方程为.（1）求椭圆方程；（2）设是椭圆上异于的一点,直线交于点,以为直径的圆记为，与直线交于点,试证明:直线过轴上的定点,并求该定点的坐标.19（本题满分16分）已知定义在上的函数和数列满足下列条件：，当时，且存在非零常数使恒成立(1) 若数列是等差数列，求的值；(2)求证：数列为等比数列的充要条件是(3) 已知，且（），数列的前项是，对于给定常数，若是
5、一个与无关的常数，求的值。20. （本题满分16分）若函数在上恒有成立（其中为的导函数），则称这类函数为A类函数(1)若函数，试判断是否为A类函数;(2)若函数是A类函数，求函数的单调区间;(3)若函数是A类函数，当时，证明.江苏省20122013学年第二学期期初质量检查参考答案14 2. 3. 10 4. 5 . 6.3 7. 8 9. 10. 4 11. 12. 12 13. 或126 14. ，) 15.16. 解：（I）连接. 由是正方形可知,点为中点. 又为的中点， 所以.2分 又 所以平面.4分(II) 证明：由 所以由是正方形可知, 又 所以.8分 又 所以.9分(III)在线段
6、上存在点，使. 理由如下： 如图，取中点，连接. 在四棱锥中， 所以.11分 由（II）可知，而 所以， 因为 所以. 13分 故在线段上存在点，使.由为中点，得 14分11分因为,令,即,从而,当时,;当时, . （2）证:设,则直线的方程为,6分则点P的坐标为, 又直线的斜率为,而,所以,8分 从而直线的方程为10分 令,得点R的横坐标为12分 又点M在椭圆上,所以,即,故, 所以直线与轴的交点为定点,且该定点的坐标为16分19. （1）由已知，得 由数列是等差数列，得 所以，得 4分（2）充分性证明：若，则由已知，得，所以，是等比数列 6分必要性证明：若是等比数列，设公比为，则有，由及得
7、又，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，当时， 8分若，（）对也成立数列是公差为的等差数列，不可能是等比数列，所以，（）对也成立所以，由数列是等比数列知，即，即对任意非零实数都成立综上可得：数列为等比数列的充要条件是10分（3）由（）知，数列是首项为，公比为的等比数列，即，是一个常数，故数列是等差数列，设公差为，依题意，当且仅当或时，是一个与无关的常数，不成立，所以，即， 16分20因为，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以是型函数2分，由，得，因为，所以可化为，令，令，得，当时，是减函数；当时，是增函数，所以，所以，4分当时，由，得，所以增区间为，减区间为；当时，由，得，所以增区间为，减区间为；当时，得，或，所以增区间为，减区间为；当时，所以，函数增区间为；时，由，得，或，所以增区间为，减区间为 10分证明：函数是上的每一点处都有导数，且在上恒成立，设，在时恒成立，所以函数在上是增函数， 12分因为，所以，所以，即，14分所以，两式相加，得，16分5
