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1、2013硕士研究生入学考试数学一真题及答案解析1. 已知极限，其中k，c为常数，且，则（）A. B. C. D. 答案:D解析：用洛必达法则因此，即2.曲面在点处的切平面方程为（ ）A. B. C. D. 答案:A解析：法向量切平面的方程是：，即。3.设，令，则（ ）A . B. C. D. 答案:C解析：根据题意，将函数在展开成傅里叶级数（只含有正弦，不含余弦），因此将函数进行奇延拓：，它的傅里叶级数为，它是以2为周期的，则当且在处连续时，。4.设，为四条逆时针方向的平面曲线，记，则A. B. C. D 答案: D解析：由格林公式，,在内，因此在外，所以5.设A,B,C均为n阶矩阵，若AB=
2、C，且B可逆，则（ ）A.矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价B矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价C矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价D矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价答案:B解：B可逆.A(b1bn)=C=(c1cn)Abi=Ci.即C的列向量可由A的列表示.AB=CA=CB-1=CP.同理：A的列可由C的列向量表示.6.矩阵与相似的充分必要条件为（ ）A. B. 为任意常数 C. D. 为任意常数答案:B解：A和B相似.则A和B的特征值相同.A和B的特征值为1=0. 2=b. 3=2.|A-2E|= a=0且 当a=0时，反之对于.7.设是随机变量，且，则（ ）A. B.
3、C. D答案：A解：8.设随机变量,，给定，常数c满足，则( )答案：A解：9.设函数y=f(x)由方程y-x=ex(1-y) 确定，则 。答案：1 解：令X=0,得y=1.两边求得：将x=0. y=1代入得：10.已知y1=e3x xe2x，y2=ex xe2x，y3= xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解y=。答案：解：y1-y2=e3x , y2-y3 =ex是对应齐次方程的解.由分析知：故：原方程通解为：11.设。答案：解：12.。答案：ln2 解：0+=0-ln13.设A=(aij)是3阶非零矩阵，为A的行列式，Aij为aij的代数余子式.若aij+Aij
4、=0(i，j=1,2,3），则A。答案：-1 解：取行列式得：若(矛盾)14.设随机变量Y服从参数为1的指数分布，a为常数且大于零，则PYa+1|Ya=答案：解： 三解答题： （15）（本题满分10分）计算，其中f(x)解：使用分部积分法和换元积分法(16)(本题10分)设数列an满足条件：S（x）是幂级数（1）证明：（2）求(I)证明：由题意得 即 (II) 解：为二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为从而 ，于是 ，由，得所以（17）（本题满分10分）求函数.解答：先求驻点，令，解得为了判断这两个驻点是否为极值点，求二阶导数在点处，因为,所以不是极值点。类似的，在点处，因为，所以是极小值
5、点，极小值为 (18)(本题满分10分)设奇函数f(x)在上具有二阶导数，且f(1)=1，证明：（I）存在（）存在解答：（1）由于是奇函数，所以，由拉格朗日中值定理，存在，使得。（2）考虑令。由于是奇函数，所以是偶函数，由罗尔中值定理，存在，使得，即。19.(本题满分10分)设直线L过A（1,0,0），B（0,1,1）两点将L绕z轴旋转一周得到曲面，与平面所围成的立体为。（1） 求曲面的方程；（2） 求的形心坐标。解：（3）20.（本题满分11分）设，当a,b为何值时，存在矩阵C使得AC-CA=B,并求所有矩阵C。解：令，则 ，则由得，此为4元非齐次线性方程组，欲使存在，此线性方程组必须有解，于是 所以，当时，线性方程组有解，即存在，使。又 ,所以 所以 （其中为任意常数）。21.（本题满分11分）设二次型，记，。（1） 证明二次型f对应的矩阵为；（2） 若正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为。证明：22.（本题满分11分）设随机变量X的概率密度为令随机变量（1） 求Y的分布函数；（2） 求概率.解：（2）23.(本题满分11分)设总体X的概率密度为其中为未知参数且大于零，为来自总体X的简单随机样本。（1） 求的矩估计量；（2） 求的最大似然估计量。23解：（1），令,得到矩估计（2）得到最大似然估计：。
