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1、对称问题与圆锥曲线综合问题对称问题与圆锥曲线综合问题知识要点一、对称问题是解析几何中的一个重要问题，主 要类型有：1、点关于点成中心对称问题(即线段重点坐标 公式的应用问题)设点P0(Xo,yo)，对称中心为A(a,b)，则点Po(Xo,yo)关于A(a,b)的对称点为 P(2a x,2b y。)2、点关于直线成轴对称问题由轴对称定义可知，对称轴即为两对称点连线 的垂直平分线，利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程，就可以求出对称点的坐标，一 般情形如下：设点Po(xo,yo)关于直线y kx b的对称点为P(x, y)，贝 有Iyy。IxXoyyk xxo2 2可求得 P(x,y)；b特殊情
2、形: 点Po(xo,yo)关于直线x a对称的点为P(2a xo,yo)；点Po(xo,yo)关于直线y b对称的点为P(xo,2b yo)；若对称轴的斜率为1，则可把Po(xo,yo)直接代入对称轴方程求得对称点P的坐标.3、直线关于直线轴对称问题求直线11关于直线丨的对称直线12有以下两种解 法： 转化为直线11上的点关于直线1的对称问题； 转化为角相等问题(这种解法文科不予以考 虑) 特殊情形：直线11和直线1平行，则直线11关于 直线1对称的直线12也与直线1平行，且11到1的距 离等于12到1的距离，由两条平行线之间的距离 公式即可求得.4、曲线关于点，曲线关于直线的中心或轴对称 问
3、题曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问 题，一般转化为点的中心或轴对称(这里既可 以选择特殊点，也可以选择任意点实现转化). 一般结论如下： 曲线f(x,y) 0关于已知点A(a,b)对称的曲线方程是f (2a x,2b y) 0 曲线f(x,y) 0关于已知直线y kx b的对称曲线的 求法：设曲线f(x，y) 0上任意一点P(xo,yo)，点P关于直1 k 1xx0IIyyo. x xok -从中解出xo,yo，代入已知曲线b线y kx b的对称点为P(x,y),则P与P坐标满足2 2f(x,y) 0，即应用f(xo,yo) 0利用坐标代换法就可 以求出曲线f(x, y) o关于直线y
4、 kx b的对称曲 线的方程，若对称轴的斜率为 1，则可直接 代入求得对称轴曲线方程5、解析几何中对称问题与函数图象中的对称 问题具有一致性，可以互为参照二、圆锥曲线的综合问题主要体现在探究与圆 锥曲线有关的定值、最值、参数范围问题1、定值问题指会处理动曲线(含直线)过定点 的问题以及会证明与曲线上的动点有关的定 值问题2、圆锥曲线中最值问题以及变量的取值范围 问题的求解：一是注意题中图形的几何特征，充分考虑图形的性质；二是运用函数思想、建 立目标函数、求解最值，也即是几何法与代数 法两种不同的处理方法，几何法常须扣住圆锥曲线的定义并和平面几何有关的结论巧妙结合，代数法则常把有关问题转化为二次
5、函数或三角函数的最值问题，然后利用配方法、基本 不等式、函数单调性或三角函数的有界性来解经典例题例 1已知椭圆的焦点日（3,0）,F2（3,0），且与直线 x y 9 0有公共点，求其中长轴最短的椭圆方程 解法一：利用圆锥曲线的定义：先求得Fi（3,0）关于直线x y 9 0对称的点F（ 9,6），且直线x y 9 0与 动椭圆交点为M，当M为直线FF2与椭圆的交点时（即M,F,F 2三点共线）椭圆的长轴最短，即2a |mfJ |mf2 |mf| |mf2 |ff2| 6/5 2 2取a 3后a2 45,b2 36，此时椭圆方程为盒 1 2 2解法二：设椭圆为笃七1，与直线x y 9 0联立a
6、 a 9方程组并消去y得2a29 x2 18a2x 90a2 a40由题设2 22244218a4 2a 9 90a a 0 a 54a 405 0a2 45或a2 9.Q a2 9, a2 45, amin 3、5此时椭圆方程为兰36 1.45362 2解法三：设椭圆为笃-2-9 1直线x y 90的公共点 a a 9为 M（acos，一a2 9sin ），贝卩 acos.a2 9sin 9 0有解由辅助角公式上式可以化为J2a2 9sin(9)9 sin()2J2a9sin()1,9 J2a2 9a2 45, amin 3弱，此时椭圆方程 2 2为 45 36 1.例2已知椭圆方程丁 1，
7、试确定m的取值范 围，使得对于直线y 4x m在椭圆上有不同的两点 P，Q关于这条直线对称 解题策略：直线与圆锥曲线的位置关系涉及对称 问题，一般有两种方法：一是通过韦达定理处理 中点弦问题，得到关于参数的的关系式，再由0 联立可得参数的范围，对称常出现的问题在前面 知识讲解的时候已经阐述；二是巧用“点关系”， 可以处理弦的中点和斜率问题，但要注意对该直 线与曲线是否有两个公共点，要作出必要的判 断.解法一：设与直线y 4x m垂直的直线为y十b，#2 2将该直线与扌号1联立组成方程组得x2 2bx 4b2 12 o，由题意得13 2x422bx 4b122 24b 13(4 b12) 0b2
8、134Xiyiy28b1314 X1X22b又由24,b13y1y22XiX22132吊1313空 m.Qb24134m24_132不13解法：设 P X1,y1 ,QX2,y2 ,PQ的中点Mxo,yo ，则2 23# 4y12122 23x2 4y212两式相减，y2X2X13 x2x.4 y2 y13xo4yo由题意得y2 %x2x(yo3x0xo,yo在直线4xm上，所以yo 4Xom,3m,因为点M在椭圆内部，所以2Xo42yo32m 2彳3m 14m24132危2币.1313定值问题已知椭圆C经过点1，|两个焦点为 卩、1,0（1 求椭圆C的方程;（2）E、F是椭圆C上的两个动点，
9、如果直线 AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值2 2解：（1）由题意c 1,可设椭圆的方程为-xb2 b 1， 1 b b将点A 1,2的坐标代入这个式子，得 亠 2 1,解 271 b2 4b222得b2 3,b2 3 （舍去），所以椭圆的方程为2吕1.443（3）设直线AE的方程为y k（x 1）-，代入1243得23 4k2 x2 4k 3 2k x 4 - k 12 0 .设 E xE,yE ， F Xp, yF2 7由点A 1,2在椭圆上,1Xe4k 3 2k3 4k2XE234 k 1223 4k2kxE又直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，
10、在上式 之中以k代替k，可得234 k 122.3.所以直线EF的斜率kEF jXe Xfk(xE xF) 2k 1XE XF2、 - 2已知过点d 2,0的直线I与椭圆y2 i交于不同的 两点A,B，点M是弦AB的中点.（1若op oA QB，求点p的轨迹方程；的取值范围.例4 范围问题（2）求需解：（1）若直线I/ x轴，则点P为0,0设直线I : X my 2，并设点A,B,M,P的坐标分别 是 A Xi,y ,B X2,y2 ,M Xg,yo , P x, y，贝 X2 ?28 中，整理得 X2 2y2 4x 0 2 x 0 .2消去 m22得 m2 2 y2 4my 2 0x 2y
11、2由直线与椭圆有两个不同交点，可得2224m 8 m 20 m 28m22由OP OA OB及方程（）得 yyiy?m, XXixmyi2my2m 24m82由于m 0 （否则直线与椭圆无公共8将以上方程组两式相除得m2-，代入到X 7方程综上所述，点P的轨迹方程为x2 2y2 4x 0 2 x 0 .(2)当直线1 x轴时，A,B分别是椭圆长轴的两个端点，则点M在原点处，所以血；MD2, MA72,MDMA由方程()得2mm2 2，MD Q1 m2yoyoMA J1 m2yoMDMA2 mm22Q m22,厶my1 y222u m1,0 , 122V myi10,1 ,例5 最值问题m222
12、 . 2m22m 2m 2MDMAy2了上顶点，点P是线段AD上的任意一点，点是椭圆的左、右焦点，且 小值是5(1求椭圆C的方程；(2)设椭圆的右顶点为已知点A,D分别是椭圆2xC 二ab 0的左顶点和RE分别PFv PFV的最大值是1最轴上方的动点，直线AS,BSB，点S是椭圆上位于x与直线i：x 34分别交15#于M,N两点，求线段MN的长度的最小值；(3)当线段MN长度取得最小值时，在椭圆上 是否存在这样的点T，使得TSB的面积是17 ?若存在，确定点的个数，若不存在,解：设 P x,y ，F1 c,0 , F2 c,0 ，uuuvPF2 c x, y ，PvUU： x2 y2 c2.Q
13、 P 在线段 AD 上, 段AD上的点到原点距离的平方， 道当点P运动到点A时x2 y22a，比 r、f UUV UUUV所以 PF1 PF2 x当OP AD时， 积法可以得到说明理由ULUVPFic x, y ，y2可以看成线 结合图形可以知 取得最大，最大值为y2 c2的最大值为a2 c2 b2.x2 y2取得最小值，最小值运用等面的最小值为Ph PF x2 y2 c2的最小值为UJU/ UJUV 乂 PFi PF2b21a2b222 2 C a b2L2aa2b2的最大值是1 ,最小值是11，解得 a2 4，52所以椭圆的方程是手y2 1.4直线AS的斜率为k，显然k存在，且k直线AS的方程为ykx2，从而M,所以
