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1、数学开放题的教学探讨1993年全国高考数学科命题组就指出：“要考查一些开放问题”，国家教委将“数学开放题”列为九五重点科研项目相对于传统的封闭题严密完整，开放题在构成问题的要素条件、策略、结论中有一些是不明确的（分别称为条件开放题、策略开放题、结论开放题）当前数学开放题之所以引起我们中学数学教师的关注，我以为一是以实践能力、创新意识的培养为核心的素质教育的深入的需要数学开放题对培养学生思维的发散性（结论开放）、聚敛性(条件开放)、创造性（策略开放），不失为好载体二是高考命题的导向作用，数学开放题走进高考试卷的需要三是数学走向应用的需要我们的数学教育不仅要让学生学会继续深造所必需的数学基本知识，
2、基本方法，基本技能，更重要的是让学生学会用数学的眼光看待世界，用数学的思维方式去观察分析现实社会，去解决现实生活中的问题为了满足上述三方面的需要，必需将开放题引进课堂教学本文谈对数学开放题教学的一些认识，不当之处，谨请多多指教、砸破篱笆，让学生展开想象的翅膀青少年时代是一生中最富有活力、充满想象的时代开放题往往形式活泼，供学生思考的角度众多，思维活动的空间宽阔，正好给青少年学生提供了一个展翅的舞台而封闭题往往形式单一，要求学生在特定的范围内进行定向思维长期作这类机械式的思维训练，学生的思维中将立起一道道难以逾越的篱笆这样的教学活动，不仅没有促进学生进一步开放自己，反而束缚了他们的思想通过开放式
3、教学，可以让学生砸破这些禁锢思想的篱笆，展开想象的翅膀，自由地发挥自身才华根据我校搬迁前曾有一块操场需要改造这一实际，我们编拟：开放题 我校准备在长120米，宽100米的空地上建造操场，请同学们设计操场形状，思考能否造出满足以下条件的环形操场每道跑道宽1.22米；跑道用直线或圆弧吻接；跑道共八道且内圈为300米本题有学生认为不能造出满足要求的操场，他认为操场应由两个半圆和一个矩形构成（如图），经计算，跑道内圈无论如何达不到300米的要求也有学生认为能造出满足要求的操场，可将操场设计成如图，由四个四分之一圆弧及五个矩形构成还有学生将操场设计成如图，弯道部分由三段圆弧组成，他们认为这样才是操场更有
4、学生将操场设计成花园式（如图），跑道全部由圆弧组成，他们认为这样的操场更美开放题2 用一块长2米，宽1.6米的玻璃加工出椭圆形镜子（镜面为完整的一体）要使镜面面积最大，该如何设计加工镜子(注S椭=)本题主要考察学生如何画出椭圆，培养学生的动手能力可以用硬纸板代替玻璃，让学生亲手画一画，动手截一下学生至少可从以下几个角度去思考:建立坐标系，写出方程描点；确定焦点，长轴长，由第一定义得到；用解析几何课本P116椭圆参数方程的定义；用椭圆规工作原理(P124)2、传授定式，帮学生克服畏惧的心理开放题引入课堂教学之初，学生的表现往往士为一是觉得好奇，感到有趣；二是感到畏惧，不知从何处入手这就要求我们教
5、师介绍一些典型开放题的求解思路，帮学生建立科学的思维定式寻找充分条件型开放题开放题3在直四棱柱中（如图），当底面四边形ABCD满足条件 时，有（填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形1998高考卷第18题）这类题型，只需找到能使结论成立的一个充分条件即可，而不必去寻找结论成立的充要条件这类问题的要求并不高，可考虑特殊值或极端情形，从而找出充分条件这一点，学生一开始往往不习惯“是否存在”型开放题开放题4 设是由正数组成的等比数列,是其前n项和.是否存在常数0,使得成立？并证明你的结论（1995高考卷第25题）这类开放题的答案，不是肯定就是否定，开放度较小若“存在”，就是具有适合条件
6、的某种数学对象，无论用什么方法，只要找出一个就说明存在若“不存在”，一般需要有严格的推理论证故这类“是否存在”型开放题的解决思路一般为，先假设存在满足条件的数学对象，如果找出矛盾，说明假设不成立，进而否定假设，如果经过严格推理，没有找到矛盾，说明确实存在，找出满足条件的一个对象即可猜想型开放题开放题5 已知数列bn是等差数列,b1b2b145， b1=1求数列bn的通项bn；设数列an的通项an= 其中a0且a1），sn是数列an的前n项和，试比较sn与的大小(1998高考理科第25题)解答这类开放题，要求学生学会猜想牛顿早就说过：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现”美国数学教育家彼利亚在1
7、953年也大声疾呼：“让我们教猜测吧！”可我们在日常教学中，往往过分强调数学学科的严谨性和科学性，忽视实验猜想等合情推理能力的培养，让学生觉得数学枯燥、无趣、难学我们应该教会学生如何猜想教学生通过实验、观察，进行猜想，教学生通过对特例（特殊值）的分析、归纳, 猜想一般的规律（共性），教学生通过比较、概括得到猜想，教学生对具体问题的特殊解从宏观上作出估算先有猜想，再作严密的数学证明这样“既教猜想，又教证明”，让学生体会到数学也是生动活泼，充满激情，并富有哲理的一门学科不至于学生说“过了几十年，还做学习数学的恶梦”（徐利治语，见文）、开展实验，用计算机辅助开放式教学利用计算机强大的计算功能和作图功
8、能辅助开放式教学，有利于改善课堂气氛，激发学生的学习兴趣；有利于“观察（实验）、猜想、证明（否定）”这一思想方法的运用，快捷方便地验证学生自己作出的猜想，从而充分利用课堂活动的时间开放题6 （荒岛寻宝）从前，有个年轻人在曾祖父的遗物中发现一张破羊皮纸，上面指明了一项宝藏，内容是这样的：“在北纬，西经，有一座荒岛，岛的北岸有一片草地，草地上有一棵橡树，一棵松树和一座绞架从绞架走到橡树，并记住所走的步数，到了橡树向左拐一个直角，再走相同的步数并在那里打个桩然后回到绞架再朝松树走去，同时记住所走的步数，到了松树向右拐一个直角，再走相同的步数并在那里也打个桩，在两桩连线的正中挖掘，就可获得宝藏”年轻人
9、欣喜万分，租船来到海岛上，找到了那片草地，也找到了橡树和松树，但绞架却不见了长期的日晒雨淋，一切痕迹也不复存在年轻人无从下手，只好空手而返同学们，你能用数学方法帮助这位年轻人吗？本题，学生往往不知从何处入手如果我们利用数学教学软件几何画板制作图（设，两点为橡树和松树所在地，假设为绞架所在地依题意找到打桩处，）不妨先让我们做一个小实验拖动点C，我们将会发现，无论C在何处，DE中点H是不动的我们问：这说明什么？宝藏是否就在中点处？这样，学生将会积极地思索，不难从解析几何，复数、向量、平面几何角度寻求具体的解决方法学习“过抛物线 的顶点作二条互相垂直的弦OA,OB( AOB = 9)则弦AB 恒过定
10、点(2P ，O ) ”之后,引导学生探讨：开放题7 过抛物线 上任一点C(， ) 作二条互相垂直的弦CA 、CB(ACB = 9) 则弦AB有什么特性? 利用几何画板设计如图 ； 探讨过程为 ：1 、双击移动按纽 “ 移 动CO ” 显示直角顶点在原点时，弦AB 恒过定点(2P ，0) .2、直角顶点移回C 处，对AB作轨迹跟踪，发现弦AB过一定点.3、作出该定点D并显示该点坐标.4、寻找关系： 显示C及点C关于X轴对称点E的坐标，我们发现点D与点E的纵坐标相同. 作出线段ED并显示长度，发现 ED = 2P.5 、改变点C 的位置，或拖拉焦点F,变化P 的长度再作上述观察.确认我们的结论正确,从而猜想弦AB恒过定点D(，) .6 、用代数方法证明以上猜想.参考资料1、戴再平：数学习题理论，上海教育出版社1991.42、张奠宙：数学教育的全球化，开放化、信息化、数学教育1998.53、王珂：从高考的新题型开放题引起的思考，数学通报 1999.12、陈锡龙:设计开放性的数学教学初探,中学数学教学参考1999.10、“现代数学及其对中小学数学课程的影响”数学家座谈会纪要 数学通报 1999,11.2
