《运动稳定性与非线性振动作业含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《运动稳定性与非线性振动作业含答案（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、顿Ch2单自由度保守系统自由振动1、确定下保守系统或耗散系统的奇点和它的类型，绘出相轨线并指出其分界线1)Xx+x，=02)X+x+x，=03)x+2必+x+x3=04)x+2必+x-x3=0解：各系统的相轨迹图如下所示1)相轨迹线如图1。系统有三个奇点，其中，相点(-1,0)和(1,0)为中心，相点(0,0)为鞍点，通过鞍点(0,0)的相轨迹线为分界线。2) 相轨迹线如图2。系统有一个奇点(0,0),其类型为中心。图1图2或（图3叩0）3）当卜=0时，系统有一个奇点（0,0）,其类型为中心,相轨迹线如图3（和图2一样）；当卜0时，系统有一个奇点（0,0）,其类型为不稳定焦点，相轨迹线如图4;
2、当卜0时，系统有一个奇点（0,0）,其类型为稳定焦点或结点，相轨迹线如图5。，20111116-4-20246图4旧-0.32.52-1.5/-0.500.511522.5图5p=0.34）当卜0时，系统有一个奇点（0,0）,其类型为不稳定焦点，相轨迹线如图6;当P0时，系统有一个奇点（0,0）,其类型为稳定焦点或结点，相轨迹线如图7。当卜=0时，系统有一个奇点（0,0）,其类型为中心，相轨迹线如图8;-25-21.5-1-0500511522.5图6叩-0.05图7p=0.6图8呻02、数学摆，摆长为1,摆锤质虽为m,不计摩擦，其运动方程为壮gsin。=0,试求出势能函数u（e）,并在相平面
3、上画出相轨线。解：将运动方程化为状态变虽形式1a=向g:=sin口l其相轨迹微分方程为：土=-二势能函数U(。)=0jsin8d8=.(I-cose)。相轨迹线图见图94r_4JJL|J-15-10-5051015图9相轨迹线图3、如图，弹簧原长为10,刚度系数为k,物体沿光滑水平面运动，当物体在平衡位置时，弹簧预张力为So,设x(0)=xo=10mm,x=o.imm/s,1o=50mm,So=10kN,m=0.1kg,k=500N/m。列出运动微分方程，转化为无虽纲形式，用相平面法作出物体的振动解。解：运动微分方程为:mHW+x+mX2=0k.loX2转化为无虽纲形式:X0.25100x21
4、.995105X=0.0.0025x20-2s内物体振动的相轨迹如图10。物体从相点(0.01,0.0001)出发,沿半径不断减小的近似圆轨迹逆时针运动，逐渐趋于相点(0,0)图10相轨迹线图Ch3李亚普诺夫运动稳定性理论1、求如下微分方程的一组特解，并建立扰动方程22Xi=-XiXi(XiX2-1)/22X2=Xx2(xX2_1)侣军:设x=rcos0,x2=rsin0,贝UX=|c8s)0rs区nX2=ijsin二rcos将以上各式代入微分方程，得到dcos-ursine-rcosrcos【r2-1r|siHrcosm-rcosmrsi2r2-131.一.一.一=rrsin2-cos2-3
5、1sin2cos21微分方程的一组特解为:信=J；(cos2Bsin28+3),摘1)2+11mS=2arctan:Ste-1引入受扰运动与未扰运动的差值作为新变虽，即P=r-rs，申=。-电，则扰动方程为:=：31：sin2cos2一312sin2cos2122、用V函效法确定下系统原点的稳定性r-一3X=y+2y.、y=-x-2x3解：选择正定的李雅普诺夫函数V(x,y)=X。+x2+y4+y2Vx,y=业乂旦y=4x32xy2y3ii4y32yx2x3=0；:x；:y由于V沿解曲线的全导数为零，根据李雅普诺夫直接方法，系统的原点稳定。3、判别如下方程组零解的稳定性工x=x一y一zy=x+
6、y-3zz=x5y3z解：将线性方程组写为矩阵形式:pi一1为卜=I1PJL1-1一1fx其特征方程为:Iz1-3-5-3-111%T3=0,即3十九218丸+12=053求得特征值的实部分别为:-5.0420;0.7154;3.3266。由于有两个特征值的实部为正，线性方程组的零解不稳定4、按一次近似理论判别如下方程组零解的稳定性:x=e7-1八、2N=x(1y)解：原方程组的一次近似方程为：x=x2y,化为矩阵形式:y=x其特征方程为：|MA=+12=0，即/十九_2=0,1舄求得特征值为-2,1。由于一次近似方程有一个特征值为正，根据李雅普诺夫一次近似理论，原方程的零解不稳定。(0,5、
7、根据李亚普诺夫第一方法和第二方法研究下系统奇点0）的稳定性F-Xi3二Xi-3x2X2=3xi-5x2解：一次近似方程为r9XiX2_X1_3X2=3Xi-5x2,其特征值的实部均为负,根据李雅普诺夫一次近似理论，系统奇点（0,0）稳定。选择正定的李雅普诺夫函数V（X,X2）=X2+x；,V沿解曲线的全导数为VV33_4_4：XiVX1,x2=XX2=2x1Z一X1-3x22x23x15x2-2x1一10x2由于V负定，根据李亚普诺夫第二法，系统奇点（0,0）稳*/HoCh4单自由度系统自由振动定虽分析方法1、设数学摆有比较小而有限振幅的角振动，其运动微分方程为叶g&o3,试用：（1）直接展开
8、法求二阶近似解；（2）l61用重整化方法将其调解为一致有效解。解：（1）取&=6为小参数，并将8=缶（。+的（t）+齐2（t）+|H代入微分方程，得：勤+醐+!&+川+,（%+理1+&+|）=耳（如+曲1+齐2+川）令，的同次幕的系数为零，得：就+曾。=0；甘+耙1=寸；零次近似方程的通解为:将上式代入一次近似方程：+g=3cos恒t+E+cos3匹+3日,14相JIVI刀解得：e1=si3AJcosE3AL+32B1cos在tJcosE丝ZsinEL32B2siJt-I8Vg16gJVI8Vg16g)VIcos3.gt3：32g-I为消除久期项，应满足:s静弩卜瑚看3=0，瑚零也5常+理=。
9、将时,山代入二次近似方程，解得:口R工g3A512&fjgr3A512ffgn%=C1s叫t扣2*出-易服tsin.Jit+B由cosTt+T3A5I2.2512g3a5i2cos1024g25gt5-二阶近似解为:Gg2。*sin3612gt竺13612gt一A5：gtsinLgt.13072，1b1+2cos6144A-A5cos61443照+3臼36864iV132A3-A5cos6144、=/，并设T=C0s=(1十&略十E2切2+HI)s,或将s代入二阶近似解，并应用如下泰勒级数展开式sinn-；1：p|=sinni.)“：1ncosni.广O；2cosn-；1：HI=cosn，,广
10、fnsinn-.广O2整理并化简得到:CC36123612Gg2361C2g223612cost+6144AA5A5ZA5工6144AA5ssin(x十E)十s&切1+、61443072)30726144)cos-32A3-A56144-.-:32A-A3；1sin36144A5cos336864A55；.1sin5-36864为使方程的解一致有效，应满足:Cg23612Gg23612c2g2；1-2=。；3612556144A-AA八s=0:3072-16144A5s；,13072-56144A-A56144=032A3-A5323；1=06144A55；.十36864=0cos536864
11、方程的一致有效解为:A5cos3-61442、试用坐标变换法之一的林特斯蒂脱法确定如下方程的频率振幅关系。x+32x+ax5=0解：设7皿则郭，2222ddd.d2d亍=(0=Qo=7dtdtd.dtd.d.原方程可化为：2X2x、x5=0将x=x(T)+Ctx1(T)+川，=钏+*1+川代入方程，得到：2,2,5：1HI札：*川、：，山:、：、|=o令a的同次幕的系数等于零，可得:财0相+伽冷=；伽猫+与0乂1=一冷一2切0001*0对零次近似方程求解，设其通解为:x0=aco叉e+E),式中a为振幅将上式代入一次近似方程，得：2255，0Xi，0x=-acos广2，0，acos.*jD5a
12、5_Ba5_Dcos(E+B)-cos3(口cos5(i+P一次近似方程的通解为:1515x=3842一120a3840a.sin.-2-60a1920acos广5515a5a5cos332cos55,rbcos38403840为使久期项系数为零，应满足率振幅关系为广若。b=0,-120a5+384。0斜a=0,即频3设具有粘性阻尼和平方阻尼的系统，其运动微分方程为mx+kx+冰+例2=0,试用多尺度法求其一次近似解。解：运动微分方程可化为：1+况x+2七。立+或=0，式中：8=日为m小参数令x=X0（L,T）+&Xi（T0,Ti）,=D0+&Di,崇=房+2如00122D。2；DDX。；x1
13、，0冶；*20D；D冶广iD；Dx；x1上式展开后，令6同次幕系数为零，得到:D0X020D0X00X0=0222D0Xi2，0D0X10Xi=-D0X020DiX2D0DiXd零次近似方程的通解为：X0=Ai（Ti后顷一汛廿）+A2（Ti拍顷习疽），将其代入一次近似方程的右边，得到：D0Xi20DXi,我=EFga+A0（手广）TeWNQD0A2+A2/0（-。i尸）2-2e2初DA+A钏（M+iT2）忡A2+A2CO0（M-i）（一）f匚句0DiA+2D0DiAi+2DiAi/0（匚+iji匚2）（一7一、2匚切泪+2D0DA+20、（匚iJi匚2）为避免出现久期项，应满足：2wDiA2D
14、DiA2DiA-i,L=02，0DiA22D0DiA2DiA，0：T,i-2）=0即：a=0,A2=0一次近似方程的通解为:-0T:；i1_2-qT_11_2Xi=BieB2e一次近似解为：x=X。i=fAi+EBi曹）+1+日B2/J）ImJImJ4、考察方程为X+房x+/XX2版）+sox=0的系统的运动，式中a远小于i,叽七0。试用KBM法证明x=acos(30t+0($42a=Wa四230a)3兀C3辑26=a8此解：fx,X=2iX-%X,X,-：x3将x=acos期,X=-a可sin?代入f0(a,)=fogX),得：:.a3f0a,nZalsin-2aIsin、|aisin3cos-cos3-4将上式代入2(一2+x顷2i=f0(a,W)+&0AsinW+&0aB|cos甲,即:20/-.2d+x狎2毛=(2rA(-2氏州+%洲|洲sin平jsin平+2)0aB川口a3质co评cosV4周期解条件要求2钏A-2捋洲+%a刘洲sin叫=0;%0aBi-=0,3：2a80
