求数列通项公式及数列求和的几种方法

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1、数列知识点及方法归纳1.等差数列的定义与性质定义:等差中项:a - a d ( d 为常数)，a a +(n-l)d n +1nn1x， A， y成等差数列o 2 A = x + y(a + a )nn前n项和 S = 1 n = na +dn 2 1 2性质：是等差数列n(1)若 m+n = p + q，贝卩 a + a = a + a ；m n p q(2)数列a, aa仍为等差数列,仍为等差数列，公差为n 2d ;(3)2 n -12 n2 n +1若三个成等差数列，可设为a-d, a, a + d(4)若a，b是等差数列，且前倾和分别为nnas，贝|2m 1bTm2 m-1(5)为等差

2、数列O s = an2 + bn ( a, b为常数，是关于坷勺常数项为0的二次函数) nns“的最值可求二次函数sn = an2 +bn的最值；或者求出an中的正、负分界项,即：当 a 0，d 0na 0n+1可得s达到最大值时的值.n当 a 0，由1a 0n+1可得s达到最小值时的叫值.(6)项数为偶数2n的等差数列 nS = n(a + a ) = n(a + a)=2n12n22n-1=n(a + a )(a ,a为中间两项nn+1n n+1% 料nd，卜-&偶n+1(7)项数为奇数2n-1的等差数列有n ,s (2n-1)a (a为中间项2n-1n nS - S = a , S奇-n

3、 奇偶 n s 百*偶2.等比数列的定义与性质a定义：亠二q （ q为常数，q丰0 ）, a二aq-arn 1.n等比中项：x、G、y成等比数列n G 2 = xy，或G = Pxyna （q = 1）前项和：S =L （1-qn）（要注意!）n | （q 丰 1）1 - q性质：乞是等比数列n（1）若 m + n = p + q，贝卩a a 二 a am n p q(2)仍为等比数列，公比为qn.S， Sn21注意 :由s求annS , S S n3 n2 n时应注意什么？n = 1 时，a1n 2 时,=S S .nn 一 1 *3求数列通项公式的常用方法(1)求差(商)法例：数列 , 1

4、 a + 丄 a + + a = 2n + 5，求n 2 1 22 2练习数列乞满足S + Snnn + 15=a ，3 n+1=4，求 an(2)叠乘法数列b 中,na n a = 3, n+1 =1 ann+1，求 an(3)等差型递推公式a - a = f (n )， ann -11a，求a，用迭加法0nn 2 时,a a = f (2)2 1a a = f (3)32两边相加得a a = f+ fn1+ f (n)a a = f (n)nn-1+ f (2) + f (3)+ f (n)(4)等比型递推公式a = 1,ia = 3n-1 + a(n 2),nn-1n 1)a = ca

5、+ d( c、d 为常数,nn -1c丰0,c丰1, d丰0)可转化为等比数列，设a + x = c (ann-1+x)n a = can-1+ (c-1)x是首项为a+ 士，c为公比的等比数列令(c 1) x = d， x =c 1(d(d)a + cn-1，.a =a +l 1 c1 丿nl 1 c 1 丿Cn-1 c1例：数列a 满足a = 1, an+1 =乜+1,求数列a 的通项公式n1n(5)倒数法 a 二 1,2aa 二nn+1a + 2n在数列中,a1 = 1，an+1二佥，求数列的通项公式.na = S1( n=1)公式法、利用 nSn-Sn_1(n2)、累加法、累乘法构造等

6、差或等比a = pa + q或n +1na = pa + f(n)、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法n +1n4.求数列前n项和的常用方法(1)裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.如：t 是公差为d的等差数列，求a ak=1 k k+1(1 1 a .k+1丿/1 _ 1、a a )1 2丿解：由1 = (1)=1 一 a (a + d 丿 d ( a k k k厂 1 _1、d (a a 丿 k k+1ya ak k+1三丄=K 1a ak=1 k k+1 k=1+d a a1n+1例：已知a二，求数列的通项公式及前n项和s1 + nan-1(2

7、)错位相减法若 a 为等差数列，b 为等比数列，求数列ab (差比数列)前n项和,n nnn n求S，其中q为b 的公比.nn可由S qS，nn例：S = 1 + 2 x + 3 x 2 + 4 x 3 +n+ nxn-1 求 sn(3)倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.S = a + a + a + an 1 2n-1 nS = a + a + a + an n n-12 1例：设等差数列s讣，公差为求证：(的前项和鸟=相力口2S =(a + a )+(a + a)+ + (a + a )n1 n2n-11 n练习已知f (x)=去，则f (1)+ f (2) + f

8、(1 + f (3) + f3丿+f + f 4 二V3丿(1 A由 f (x) + f -=原式二 f (1)+ f +f(1a. 用倒序相加法求数列的前n项和如果一个数列an,与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两 个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知 其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列 前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。b. 用公式法求数列的前n项和对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运 用公式求解的注意

9、事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。c. 用裂项相消法求数列的前n项和裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的 前n项和。d. 用错位相减法求数列的前n项和错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列 anbj中，an成等差数列，bn成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后 即可以求出前n项和。e. 用迭加法求数列的前n项和迭加法主要应用于数列an满足an+1=an+f(n),其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这 个式子变成an+1-an=f(n),代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出 an，从而求出Sn。f. 用分组求和法求数列的前n项和所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开， 可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。g. 用构造法求数列的前n项和所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基 本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。