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1、学号：20105031005年论文（本科）学院数学与信息科学学院专业数学与应用数学年 级2011 级姓 名蒋丽论文题目含参量反常积分的一致收敛性的判别方法指导教师胡旺 职称 教授成 绩2014年3月14日目 录摘要 1关键词 1Abstract 1Keywords 1前言 11 .定义 32 .含参量反常积分一致收敛性的判别法 3结束语 7参考文献 7含参量反常积分的一致收敛性的判别方法学生姓名：蒋丽 学号：20115031005数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导老师：胡旺 职称：教授摘 要：本文从含参量反常积分的定义及含参量反常积分的一致 收敛的定义出发，叙述了含参量反常积分的一致收敛
2、性的四种判别法 并且给出了一些例子.关键词：区域;收敛;一致收敛The judgement methods of uniform convergence on improper integrals with paramerAbstract :This article summarizs four kinds of judgement methods of uniform convergence on improper integrals with paramer according to the definitions of improper integrals with aramer and
3、 uniform convergence on improper integrals,and give some examples.Key Words: region; convergence; uniform convergence前言含参量反常积分是微积分学中一类重要的积分 ，研究含参量反常 积分及其一致收敛性，可以为分析讨论函数的性质打下坚实的基础.本文归纳了判别含参量反常积分的一致收敛性的五种方法：一致收敛定义、魏尔斯特拉斯 M判别法、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法，并 且给出了典型例子以说明每种判别法的特点.1 .定义定义 1 设函数fx,y 定义在无界区域 R (x,y)a x b,
4、c y 上，若对每一个固定的x a,b，反常积分f x, y dy c 都收敛，则它的值是x在a,b上取值的函数，当记这个函数为I x时, 则有I x f x, y dy , x a,b , c2 2) 称式(1)为定义在a,b上的含参量x的无穷反常积分，或简 称含参量反常积分.2.含参量反常积分一致收敛性的判别法定义2若含参量反常积分(1)与函数I x对任给的正数，总存 在某一实数N c,使得当M N时,对一切x a,b ,都有 Mf x, y dy I x ,m f x，y dy ，则称含参量反常积分（1）在a,b上一致收敛于I x .或简单的说含参量积分（1）在a,b上一致收敛.定义3设
5、函数f x, y在区域R a,b c, d上有定义，若对x的某些值，y d为函数f x,y的瑕点，则称df x, y dyc（3）为含参量x的无界函数反常积分，或简称含参量反常积分。若对每一个x a,b ,积分（3）都收敛，其积分值x在a,b上一致收敛的定义是定义4对任给正数，总存在某正数d c,使得当0时，对一切x a,b，都有dd f x, y dy ,则称含参量反常积分1在a,b上一致收敛.定理1 （一致收敛的柯西准则）含参量反常积分（1）在a,b 一致收敛的充要条件是：对任给正数，总存在某一实数M c,使得当A,A2 M时，对一切x a,b,都有A2A f x, y dy A例1证明含
6、参量反常积分sin xy , -dy 0 y（4）在，）上一致收敛（其中 0）,但在（0,）内不一致收敛.证做变量代换u xy ,得sin xy , sinu ,dyduA y Ax u其中A 0.由于。吸M ,使当A M时,就有收敛，故对任给正数 ，总存在正数取A M ,则当所以(4)在x snuduA u现在证明(4)在(0,)内不一致收敛.由一致收敛定义，只要证明 存在某一正数,使对任何实数M ( c),总相应地存在某个A M及某个x a,b ,使得由于非正常积分个x(0),使得0 .A到du收敛,故对任何正数0与M ,总存在某 usin u duMx usin u du0 u0.现令s
7、inu ,du usin u ,du , usin u , duMx usin u , du0 u由(5)及不等式(6)的左端就有(6)孙沁2。00.M yMx u所以(4)在(0,)内不一致收敛.定理2含参量反常积分1在a,b上一致收敛的充要条件是：对任一趋于的递增数列An(其中A c),函数项级数A 1A f x, y dy Un x n 1 3n 1在a,b上一致收敛.例2 证明：若f(x, y)在a,b c,)上连续，又f(x, y)dy c在a,b)上收敛，但在x b处发散，则f(x,y)dy c在a,b)上不一致收敛.证用反证法，假如积分在a,b)上一致收敛，则对于任给0,总存在M
8、 c,当A, AM时对一切x a,b)恒有AAf(x, y)dy .AA由假设f(x, y)在a,b A, a上连续，所以 f (x,y)dy是x的连续含数.A在上面不等式中令x b,得到当A A M时，A a f (b,y)dy . A而 是任给的，因此 f(x,y)dy在x b处收敛，这与假设矛盾，所以积 c分c f (x, y)dy在a,b)上不一致收敛.魏尔斯特拉斯M判别法设有函数g(y),使得f x,y g(y) , a x b,c y若 g(y)dy收敛，则 f(x, y)dy在a,b上一i致收敛. cc例3证明含参量反常积分cosxy , 或dx1 x2在()上一致收敛.证由于对
9、任何实数y都有cosxy1 x211 x2及反常积分12 dx1 x收敛，故由魏尔斯特拉斯M判别法，含参量反常积分(7)在()上致收敛.狄利克雷判别法设(i)对一切实数N c,含参量正常积分N c f(x, y)dy对参量x在a,b上一致有界，即存在正数M ,对一切N c及一切x a,b，都有 c f (x, y)dy M ；(ii) 对每一个x a,b，函数g(x, y)关于y是单调递减且当y 时,对参量x, g(x, y) 一致地收敛于0,则含参量反常积分c f (x, y)g(x,y)dy在a,b上一致收敛.阿贝尔判别法设(i) f(x, y)dy 在 a,b 上一i致收敛； c(ii)
10、 对每一个x a,b ,函数g(x,y)关于y是单调的单调函数，对参量x, g(x, y)在a, b上一致有界.则含参量反常积分f(x, y)g(x, y)dy c在a,b上一致收敛.xy Sin xe dx0 x例4证明含参量反常积分在0,d上一致收敛.证由于反常积分xy sin x e dxx收敛(当然对于参量y,它在0,d上一致收敛)，函数g(x,y) exy对每一个y 0,d关于x单调，且对任何0 y d ,x 0,都有g(x,y)|exy 1.故由阿贝尔判别法即得含参量反常积分(8)在0,d上一致收敛.例5证明0 xe xydy(i)在a,b (a 0)上一致收敛;(ii)在0, b
11、上不一致收敛.证(i) x (a,b), y 0)，有0 xe xy beay,be aydy 收敛 (a 0) .故 0 xe xydy 在 a,b (a 0)上一致收敛.(ii) 因(x)xe xydy0,x 0,1,0 x b在 x 0 处不连续,而xexy在0 x b,0 y 内连续,由连续性定理知， xexydy在0 x b上不一致收敛.结束语本文介绍了含参量反常积分的定义、定理和一致收敛性的判别方法，对我们今后的学习将会有很大的帮助.参考文献 :1 华东师范大学数学系编, 数学分析（ 下册 ） 北京 : 高等教育出版社 ,2001 2 钱吉林 , 数学分析题解精粹M, 武汉：崇文书局,2003 3 武汉大学数学系编, 数学分析 M, 武汉大学数学系,19994 吉林师范大学数分教研室编, 数学分析讲义M, 吉林师大数学系，2003学年论文成绩评定表成 绩：学院意见：指导教师（签名）：学院院长（签名）:2014年 月日2014 年月日（学习的目的是增长知识，提高能力，相信一分耕耘一分收 获，努力就一定可以获得应有的回报）
