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1、平行线与相交线全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1熟练掌握对顶角，邻补角及垂线的概念及性质，了解点到直线的距离与两平行线间的距离的概念；2. 区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；3. 了解命题的概念及构成，并能通过证明或举反例判定命题的真假；4. 了解平移的概念及性质.【高清课堂：相交线与平行线单元复习403105知识结构】【知识网络】T厂行一【要点梳理】知识点一、相交线1.对顶角、邻补角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表图形顶点边的关系大小关系对顶角Z1 与Z2有公共顶点Z1的两边与Z2的两边互为 反向延长线对顶角相等 即 Z1=Z2邻补角有公共顶点Z
2、3与Z4有一 条边公共，另一 边互为反向延 长线.邻补角互补即Z3+Z4=180要点诠释：（1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角对顶角的特征:有公共顶点， 角的两边互为反向延长线.如果Za与ZB是对顶角，那么一定有Za二ZB；反之如果Za二ZB,那么Za与ZB 不一定是对顶角.如果Za与ZB互为邻补角，则一定有Za+ZB=180；反之如果Za+ZB=180,则 Za与ZB不一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延 长线两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.2. 垂线及性质、距离（1）垂线的定义：当两条直线相交所成的
3、四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足如图1所示，符号语言记作：AB要点诠释：要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两 条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直.（2）垂线的性质： 垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（与平行公理相比较记）.垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段 最短.（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2： P0丄AB，点P 到直线AB的距离是垂线段PO的长.“P
4、A 0B图2要点诠释：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条.知识点二、平行线1平行线判定判定方法 1：同位角相等，两直线平行判定方法 2：内错角相等，两直线平行判定方法 3：同旁内角互补，两直线平行 要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2平行线的性质性质 1：两直线平行，同位角相等；性质
5、 2：两直线平行，内错角相等；性质 3：两直线平行，同旁内角互补. 要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直 3两条平行线间的距离如图3,直线ABCD, EF丄AB于E, EF丄CD于F,则称线段EF的长度为两平行线AB 与 CD 间的距离.要点诠释：（1）两条平行线之间的距离处处相等.（2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离. 这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的
6、线段 的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直 线上的一点到与之平行的另一直线的距离.（3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形,距离是线段的长度, 是一个量,它们之间不能等同.知识点三、命题及平移1. 命题：判断一件事情的语句,叫做命题每个命题都是题设、结论两部分组成.题设是已 知事项；结论是由已知事项推出的事项.2. 平移：在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,图形的这种移动叫做平移要点诠释：平移的性质：（1）平移后,对应线段平行（或共线）且相等；（2）平移后,对应角相等；（3）平移后，对应点所连线段平行（或共线）且相等
7、（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.【典型例题】类型一、相交线1. （1）如图（1）已知直线AB, CD相交于点0（2）如图（2）已知直线AE, BD相父于点C.分别指出两图中哪些角是邻补角? 哪些角是对顶角?【答案与解析】解：（1）邻补角是ZDOA 与ZAOC,ZAOE 与ZEOB,ZBOC 与ZCOA,ZCOE 与ZDOE,ZDOA 与ZDOB,ZDOB 与ZBOC；对顶角是ZAOD 与ZCOB,ZAOC 与ZDOB.（2）邻补角是ZACB 与ZACD,ZECD 与ZDCA,ZDCE 与ZECB,ZECB 与ZACB；对顶角 是ZACB 与ZDCE,ZBCE 与ZACD.【总结升华
8、】当需要写出的角较多时,写完后再计算一下个数,可以检验是否写全.2.直线AB、CD相交于点O, OE丄AB于点 O,ZCOE=40，求ZBOD 的度数.【答案与解析】解：分两种情况.TOE丄AB, ZA0E = 90。，即ZA0C+ZC0E=90 .VZCOE=40 , .ZAOC=5O .TZBOD=ZAOC .ZBOD = 5O 第二种：如图2,直线AB、CD相交后，ZBOD是钝角,TOE丄AB, /.ZAOE = 90 .TZCOE=40 ,.ZAOC=9O +40=130,.ZBOD=ZAOC=13O .【总计升华】本题属于无图题，首先应根据题意，画出图形，画图时要考虑两种情况：一种
9、情况为ZBOD是锐角，第二种情况是ZBOD是钝角此外关于两条直线相交，应想到邻补角、 对顶角的定义及性质.举一反三：【变式1】如图所示，O是直线AB上一点，射线OC、OD在AB的两侧，且ZAOC=Z BOD，试证明ZAOC与ZBOD是对顶角.答案】证明：因为ZAOC+ZCOB = 180 （平角定义）， 又因为ZAOC=ZBOD （已知），所以ZBOD+ZCOB = 180，即ZCOD=180.所以 C、 O、 D 三点在一条直线上（平角定义）， 即直线AB、CD相交于点O,所以ZAOC与ZBOD是对顶角（对顶角定义）.提示：证三点共线的方法，通常采用证这三点组成的角为平角，即ZCOD=180
10、 .【高清课堂：相交线与平行线单元复习经典例题4】【变式2】已知：如图，Z1 = ZB, Z2 = Z3, EF丄AB于F ， 求证：CD丄AB .证明：.Z1 = ZB,.MDBC （同位角相等，两直线平行）.Z2=ZBCD （两直线平行，内错角相等），又VZ2 =Z3 （已知），Z3=ZBCD.EFCD （同位角相等，两直线平行）.又VEF丄AB （已知），.CD 丄AB.类型二、平行线的性质与判定3. 如图，将直线I沿着AB的方向平移得到直线12，若/ 1=50,贝贬2的度数是（ ）A40B50C90D130【思路点拨】根据平移的性质得出hl2，进而得出Z2的度数.【答案】 B【解析】解
11、：将直线11沿着AB的方向平移得到直线l2, 1 II l2， Z 1=50, Z 2的度数是50.【总结升华】此题主要考查了平移的性质以及平行线的性质，根据已知得出h12是解题关 键.举一反三：【变式1】（2016 滨州）如图，ABCD，直线EF与AB，CD分别交于点M、N,过点N 的直线GH与AB交于点P,则下列结论错误的是（）.D /A. ZEMB=ZENDB. ZBMN=ZMNCC. ZCNH=ZBPGD. ZDNG=ZAME【答案】D【变式2】已知：如图，ZABC=ZADC, BF、DE分别平分ZABC与ZADC，且Z1 = Z3. 求证：ABDC.【答案】证明：.ZABC=ZADC
12、,1 ZABC=1ZADC （等式性质）.2 2又:BF、DE分别平分ZABC与ZADC,.Z1= 2ZABC，Z2= 2ZADC （角平分线的定义）.厶厶AZ1 = Z2 （等量代换）. 又: Z1 = Z3 （已知），AZ2=Z3 （等量代换）. .ABDC（内错角相等，两直线平行）.类型三、命题及平移4. 在小学，学习对“几何的初步认识”我们知道：一个三角形的三个内角之和等于180，现在学习了平行线性质以后，你能说出这是 为什么吗?【答案与解析】 已知：三角形ABC, 求证：ZA+ZB+ZC=180. 证明：过A点作EFBC.则ZEAB=ZB,ZFAC=ZC （两直线平行，内错角相等）.
13、: ZB+ZBAC+ZC=ZEAB+ZBAC+ZCAF=180 （平角定义）, ZA+ZB+ZC=180.【总结升华】准确写出题设和结论后，再进行证明.5 如图所示，把边长为 2 的正方形的局部进行图的变换，组成图，贝惬的面积是（）A. 18 B. 16 C. 12D. 8 【思路点拨】根据平移的基本性质，平移不改变图形的形状和大小，即图形平移后面积不变， 贝面积可求.【答案】B【解析】图到图是将一个等腰三角形由下方平移到上方.图到图是将右边的小长方 形平移到左侧，所以图中阴影部分的面积与边长为2的正方形的面积是相等的，图是由 4个图组成的，所以图的面积是4X4=16.【总结升华】平移是由平移
14、的方向和距离决定的.平移的性质是平移前后，图形的形状、大 小不变.举一反三：【变式】如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到C的方 向平移到ADEF的位置，AB=10, DO=4，平移距离为6,则阴影部分面积为（）【答案】A类型四、实际应用6.手工制作课上，老师先将一张长方形纸片折叠成如图所示的那样，若折痕与一条边BC的夹角ZEFB=30，你能说出ZEGF的度数 吗？【思路点拨】长方形的对边是平行的，所以ADBC，可得ZDEF=ZEFG=30，又因为折 后重合部分相等，所以ZGEF=ZDEF=30 ,所以ZDEG=2ZDEF=60，又因为两直线平 行，同旁内角互补，所以ZEGC=180-ZDEG，问题可解.【答案与解析】解：因为ADBC （已知），所以ZDEF=ZEFG=30 （两直线平行，内错角相等）.因为ZGEF=ZDEF=30。（对折后重合部分相等），所以 ZDEG=2ZDEF=60 .所以ZEGC=180-ZDEG=180-60 =120（两直线平行，同旁内角互补）.【总结升华】本题利用了：（1）折叠的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化 对应边和对应角相等；（2）平行线的性质举一反三：【变
