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1、习题解答习题1.11一质量为的物体，从高度处以初速度铅直向上抛出设空气的阻力与速度成正比，试求物体的运动规律所满足的微分方程，并写出初始条件解 如图建立坐标系，设时刻时物体的高度为因物体所受的合力为，方向向下，由Newton第二定律可得（为常数），化简后可得微分方程若令，则得速度满足的一阶微分方程，相应的初始条件为2一高温物体在的恒温介质中冷却设在冷却过程中降温速度与物体和其所在介质的温度差成正比已知物体的初始温度为，试求物体的温度所满足的微分方程，并写出初始条件解 设时刻时物体的温度为，由Newton冷却定律可得微分方程（为常数），相应的初始条件为3已知曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐
2、标和纵坐标的等差中项，试求这曲线所满足的微分方程解 如图所示建立坐标系，设所求曲线为，曲线上的坐标为，过点处的切线上的坐标为，则切线方程为，易见该切线在纵轴上的截距为由条件可知，整理可得微分方程习题1.24求下列两个微分方程的公共解：，解 公共解当然满足关系式，化简，得所以和可能是两个方程的公共解进一步验证可知前者是公共解，而后者不是5求微分方程的直线解解 设直线解为，则比较同次幂系数得，故，或亦即所求的直线解为或6试求下列曲线族所满足的微分方程：（1）， （2）； （3）平面上的一切圆解 （1）从，消去可得微分方程（2）从，消去可得微分方程（3）从，消去可得微分方程7给定微分方程，证明其解曲
3、线关于坐标原点成中心对称的曲线，也是此微分方程的解曲线证明 设是方程的积分曲线上任意一点，根据题意，我们只需证明也是方程的解即可事实上，设为任意积分曲线，为其上任一点，则又设为与积分曲线关于坐标原点成中心对称的曲线，则，代入上式，得，即，即也是方程的解习题1.31 试用图像法作出如下微分方程的方向场和积分曲线的略图：（1）； （2）； （3）； （4）解 （1）当时，即在第一、第三象限内任何点的方向斜率均为1；当时，即在第二、第四象限内任何点的方向斜率均为由此不难画出方向场及积分曲线的略图（2）易见满足解的存在唯一性条件考察等斜线（），即 当时，（容易验证它是一条积分曲线）。再取可得直线和，过
4、它们上面各点的方向相同，斜率均为1画出这三条等斜线又见当或时，均有，故过这两个区域内每一点的积分曲线都是单调上升的又令得，因它是一条积分曲线，由解的唯一性知其它积分曲线不可能穿过它，因此不是拐点曲线而当时，故过该区域内每一点的积分曲线都是下凸的；当时，故过该区域内每一点的积分曲线都是上凸的由此不难画出方向场和积分曲线略图（3）易见满足解的存在唯一性条件考察等斜线即，它是一族双曲线，可以验证它们都不是积分曲线令，得等斜线：，它将平面分成三部分，在外部（故解递减），在内部（故解递增），所以在第二象限的一支为极小值点曲线，在第四象限的一支为极大值点曲线再令，得及，故在两个坐标轴上，方向的斜率均为1令
5、得双曲线，在其上方向的斜率为2令得双曲线，在其上方向的斜率为画出以上各等斜线又，令得曲线：易知它不是积分曲线，它将平面分成两部分在上方，过其中每一点的积分曲线均下凸；在下方，过其中每一点的积分曲线均上凸积分曲线穿过该曲线，积分曲线的凸性改变，故为积分曲线的拐点曲线由此可以画出方向场和积分曲线族的略图（4）满足解的存在唯一性条件考察等斜线（都不是积分曲线）令，得零等斜线，它们将平面分成四块上下两块内，过其内每点的积分曲线均单调下降；左右两块内，过其内每点的积分曲线单调上升当积分曲线穿过时，积分曲线的单调性改变，故为积分曲线的极值点曲线再令，作出相应的等斜线又令，得（不是积分曲线），它将平面分成上
6、下两部分在上方，积分曲线下凸；在下方，积分曲线上凸由此可以作出方向场和积分曲线族的得略图习题2.11 求解下列微分方程：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）解 （1）分离变量得，积分之，得通积分（为任意常数）（2）当时，分离变量得，积分之得通积分或（为任意常数）又见是方程的特解，它不含在通解中（3）分离变量得，积分得通积分（为任意常数）（4）分离变量得，积分得通积分另有特解和（5）当时，分离变量得，积分得（），即通积分为当时得特解，或，2 求解下列微分方程的初值问题：（1），；（2），；（3），解 （1）分离变量得，积分之得通积分（为任意常数）利用初始条件可得，故初值问题的解为（2）当
7、时，分离变量得，积分之，得通积分（为任意常数）利用初始条件可得，故初值问题的解为，即又易见不是初值问题的解（3）分离变量得（），积分之得通积分（为任意常数）.利用初始条件得，故初值问题的解为又易见和都不是初值问题的解3试证明：若是方程的满足初始条件的解，其中是区间上的连续函数，则证明 当时，对方程分离变量可得，积分后，得通积分显然，其中没有满足条件的解当时，可得方程的特解，显然，只有解满足初始条件4 已知（），试求函数的一般表达式解 对方程两边关于求导得，另外，由已知条件得，所以，即分离变量，积分得，为积分常数，且，从而注意到，当时，已知条件变为，不难得到所以的一般表达式为5 求具有性质的函数
8、，已知存在解 首先，令由已知可得，化简得，所以另外，由函数导数的定义，我们有，又因为，所以，变形为，两边同时积分得，其中为积分常数当时，得所以满足条件的函数为6求一曲线，使它的切线介于坐标轴间的部分被切点分成相等的两段解 取坐标系如图所示，设所求曲线为由条件可知过点的切线的斜切线与两坐标轴的交点可设为与于是切线的斜率为，于是得方程，其通积分为7跟踪：设某从平面上的原点出发，沿轴正向前进；同时某从点开始跟踪，即与永远保持等距试求的光滑运动轨迹解 取坐标系如图所示，设所求曲线为则过点的切线方程为其中为切线上的坐标，切线与轴的交点为由题设条件知，即，由题意可知，分离变量得，故通积分为利用条件，得，故
9、所求轨迹的函数为上式可改写为，两式相加并除以2后，可得另一个表达式习题2.21求解下列微分方程：（1）； （2）； （3）（为常数）；（4）（为常数）； （5）； （6）解 （1）由通解公式可得（2）由通解公式可得（3）通解为（4）当时，方程是变量可分离的，其解为；当时，方程是线性的，其解为（5）将方程改写为线性方程，其通解为另有特解（6）方程两边求导得线性方程，其通解为由原方程可得初始条件，代入上式得，于是原方程的解为2试证明：形如的方程是关于的线性方程，并写出通解公式同时，据此结果求解方程：（1）； （2）；（3）； （4）证明 将方程改写为，这是一个线性方程，其通解为利用该公式可得上述方
10、程的通积分：（1）； （2）； （3）；（4）3 试证明：当且仅当通解形如时，它所适合的微分方程是一阶线性微分方程，其中是任意常数，而与均是的确定的可微函数证明 先证必要性事实上，消去，中的参数，可得曲线族满足的微分方程，这是一个一阶线性微分方程由一阶线性方程的通解公式可知充分性是显然的4 设函数于上连续，存在且满足关系式，试求此函数解 令，则因为上式对任意都成立，所以由函数的导数定义，得即满足微分方程直接解得考虑到，得出，所以所求函数为5 设在区间上连续可微，且，试证明：证明 当充分大时，设，由条件可知设满足初始条件，则因，若收敛，则易见结论成立否则，有，于是由LHospital法则，可知6
11、 设是方程的两个相异解试证明方程的任一解必满足下述恒等式（是某常数）证明 由解的性质可知，与均为相应齐次方程的解，再由线性齐次方程的解的公式可知上述两解必然是线性相关的，故必存在某常数，使得7考虑方程， （）其中和都是以为周期的连续函数试证：（1）若，则方程（）的任一非零解以为周期，当且仅当函数的平均值；（2）若不恒为零，则方程（）有唯一的周期解，当且仅当试求出此解解 （1）由通解公式（为任意常数）可知，易见方程（）的任一解为周期解，当且仅当（2）通解公式易见仍为解，从而为相应齐次方程的解由齐次方程解的性质知为周期解，即，当且仅当，即当且仅当时，可由上式确定出唯一的解，换句话说有唯一周期解。8
12、设连续函数在区间上有界证明：方程在区间上有并且只有一个有界解试求出这个解，并进而证明：当还是以为周期的周期函数时，这个解也是以为周期的周期函数解 通解设，因，所以对任意的，当时，有界；而当时，一般无界，除非（该积分绝对收敛）此时对应的解为，因，故该解有界若以为周期，则，令，则即上述解也是以为周期的周期函数9解习题1.1中第2题所得到的微分方程又若物体在20分钟内由冷却至，那么，在多长时间内，这个物体的温度达到？解 初值问题方程，的解为由条件可知，所以从而若物体温度降到，则所需时间由确定，即分钟10质点沿轴运动，且只受一个与速度成正比的阻力设它从原点出发时，初速度为10米秒，而当它到达坐标为米的
13、点时，其速度为5米秒试求质点到达坐标为4米的点时的速度解 由Newton第二定律可得微分方程，即，其中为质点的质量，为速度利用可将方程化为以为自变量的方程该方程在初始条件的条件下的解为由条件可知，故于是于是质点到达坐标为4米时的速度为2习题2.31 求解下列微分方程：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）解 （1）将方程改写为，这是一个齐次方程令，则方程化为，分离变量后得，积分，得代回原变量得原方程的通积分（2）将方程变形为令，则方程化为整理并分离变量得（），即积分之，得换回原变量可得方程的通积分（为任意常数）由可得方程的两个特解，其中不含在通积分中（3）将方程改写为，令，对求导可得，分离变量得（当时），积分之，得（为任意常数）换回原变量可得方程的通积分当时得方程的特解（4）因方程组，
