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1、九年级数学上册圆专题 辅助线1 遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距；或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。或者连结圆心和弦的两个端点；构成等腰三角形；还可连结圆周上一点和弦的两个端点。作用：1、利用垂径定理； 2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； 3、利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形；根据勾股定理求有关量。4、可得等腰三角形； 5、据圆周角的性质可得相等的圆周角。例：如图；是O的直径；POAB交O于P点；弦PN与AB相交于点M；求证：PMPN=2PO2.分析：要证明PMPN=2PO2；即证明PMPC =PO2；过O点作OCPN于C；根据垂经定理
2、 NC=PC；只需证明PMPC=PO2；要证明PMPC=PO2只需证明RtPOCRtPMO.证明: 过圆心O作OCPN于C；PC= PNPOAB； OCPN；MOP=OCP=90.又OPC=MPO；RtPOCRtPMO. 即PO2= PMPC. PO2= PMPN；PMPN=2PO2.【例1】如图；已知ABC内接于O；A=45；BC=2；求O的面积。 【例2】如图；O的直径为10；弦AB8；P是弦AB上一个动点；那么OP的长的取值范围是_【例3】如图；弦AB的长等于O的半径；点C在弧AMB上；则C的度数是_.2 遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。作用：利用圆周角的性质；得到直角或直角
3、三角形。例 如图；在ABC中；C=90；以BC上一点O为圆心；以OB为半径的圆交AB于点M；交BC于点N（1） 求证：BABM=BCBN；（2） 如果CM是O的切线；N为OC的中点；当AC=3时；求AB的值分析：要证BABM=BCBN；需证ACBNMB；而C=90；所以需要NMB中有个直角；而BN是圆O的直径；所以连结MN可得BMN=90。MNOCA（1） 证明：连结MN；则BMN=90=ACBACBNMBABBM=BCBN（2） 解：连结OM；则OMC=90N为OC中点BMN=ON=OM；MON=60OM=OB；B=MON=30ACB=90；AB=2AC=23=6【例4】如图；AB是O的直径
4、；AB=4；弦BC=2； B= 3 遇到90的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。作用：利用圆周角的性质；可得到直径。【例5】如图；AB、AC是O的的两条弦；BAC=90；AB=6；AC=8；O的半径是 5 遇到有切线时（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）（2）常常添加连结圆上一点和切点作用：1、可构成弦切角；从而利用弦切角定理。2、利用切线的性质定理可得OAAB；得到直角或直角三角形。【例6】如图；AB是O的直径；弦AC与AB成30角；CD与O切于C；交AB的延长线于D；求证：AC=CD6 遇到证明某一直线是圆的切线时切线判定分两种：公共点未知作垂线、公共点已知作半径切线的判
5、定定理是：“经过半径的外端；并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.”；就是说；要判定一条直线是否是切线；应同时满足这样的两条：（1）直线经过半径的外端；（2）直线垂直于这条半径；所以；在证明直线是切线时； 往往需要通过作恰当的辅助线；才能顺利地解决问题.下面是添辅助线的小规律.1无点作垂线需证明的切线；条件中未告之与圆有交点；则联想切线的定义；过圆心作该直线的垂线；证明垂足到圆心的距离等于半径.例7已知：如图；AB是O的直径；ADAB于A； BCAB于B；若DOC= 90.求证：DC是O的切线.分析：DC与O没有交点；“无点作垂线”；过圆心O作OEDC；只需证OE等于圆的半径.因为AO为半径；若
6、能证OE=OA即可.而OE、OA在DEO、DAO中；需证明DEODAO证明：作OEDC于E点；取DC的中点F；连结OF.又DOC= 90. FO=FD 1=3.ADAB；BCAB； BCAD； OF为梯形的中位线.OFAD . 2=3. 1=2.DO是ADE的角平分线. OADA；OEDC；OA=OE=圆的半径. DC是O的切线.2有点连圆心.当直线和圆的公共点已知时；联想切线的判定定理；只要将该点与圆心连结；再证明该半径与直线垂直.例8已知：如图；AB为O的直径；BC为O的切线；切点为B；OC平行于弦AD；求证：CD是O的切线.分析：D在O上；有点连圆心；连结DO；证明DODC即可. 证明：
7、连结DO；OCAD DAO=COB；ADO=DOC而DAO=ADODOC=COB；又OC=OC；DO=BO DOCBOC ODC=OBC； BC为O的切线；切点为BOBC=90； ODC=90；又D在O上；CD是O的切线.【例7】如图所示；已知AB是O的直径；ACL于C；BDL于D；且AC+BD=AB。求证：直线L与O相切。 【例8】如图；ABO中；OA= OB；以O为圆心的圆经过AB中点C；且分别交OA、OB于点E、F 求证：AB是O切线；7 遇到两相交切线时（切线长）常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。作用：据切线长及其它性质；可得到：角、线段的等量关系；垂直关系；全等、
8、相似三角形。【例9】如图；P是O外一点；PA、PB分别和O切于A、B；C是弧AB上任意一点；过C作O的切线分别交PA、PB于D、E；若PDE的周长为12；则PA长为_8 遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点；或过内心作三角形各边的垂线段。作用：利用内心的性质；可得： 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线； 内心到三角形三条边的距离相等。【例10】如图；ABC中；A=45；I是内心；则BIC= 【例11】如图；RtABC中；AC=8；BC=6；C=90；I分别切AC；BC；AB于D；E；F；求RtABC的内心I与外心O之间的距离9 遇到三角形的外接圆时；连结外心和各顶点作用：外心到
9、三角形各顶点的距离相等。课后冲浪1已知：P是O外一点；PB；PD分别交O于A、B和C、D；且AB=CD.求证：PO平分BPD.2如图；ABC中；C=90；圆O分别与AC、BC相切于M、N；点O在AB上；如果AO=15；BO=10；求圆O的半径.3已知：ABCD的对角线AC、BD交于O点；BC切O于E点.求证：AD也和O相切.4如图；学校A附近有一公路MN；一拖拉机从P点出发向PN方向行驶；已知NPA=30；AP=160米；假使拖拉机行使时；A周围100米以内受到噪音影响；问：当拖拉机向PN方向行驶时；学校是否会受到噪音影响？请说明理由.如果拖拉机速度为18千米小时；则受噪音影响的时间是多少秒？5如图；A是半径为1的圆O外的一点；OA=2；AB是圆O的切线；B是切点；弦BCOA；连结AC；求阴影部分的面积.我们可以把圆中常用辅助线的规律总结为如下歌诀：弦与弦心距；密切紧相连；直径对直角；圆心作半径；已知有两圆；常画连心线；.遇到相交圆；连接公共弦；遇到相切圆；作条公切线；“有点连圆心；无点作垂线.”切线证明法；规律记心间.页码 / 总页数
