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1、第八章 高斯平面直角坐标 2006版 控制测量学讲稿第八章 高斯平面直角坐标1 正形投影的基本公式一、地图投影的概念1.投影的必要性及其方法 投影的必要性：测量工作的根本任务，是测定地面点的坐标和测绘各种地形图。因：1）椭球面上计算复杂；2）地图是画在平面图纸上，故，有必要将椭球面上的坐标、方向、长度投影到平面上。投影的方法：按一定的数学法则，得到如下的解析关系（函数关系）xF1(B，L)yF2(B，L)式中 B，L椭球面上的大地坐标 x，y投影平面上的直角坐标按高斯投影方法得到的平面直角坐标x，y叫高斯平面直角坐标。2.投影的分类椭球面是不可展开的曲面（圆柱，圆锥面是可展开曲面）。若展开成平
2、面，必产生变形。投影按变形的性质可分为： 等距离投影投影后地面点见的距离不变 等面积投影保证投影后面积不变 等角投影投影后微分范围的形状相似3.测量采用的投影测量工作从计算和测图考虑，采用等角投影（又称正形投影、保角投影）。其便利在于：1）可把椭球面上的角度，不加改正地转换到平面上。（注：椭球面上大地线投影到平面上亦为曲线。为实用，需将投影的曲线方向改正为两点间弧线方向，称方向改化。方向改化是在平面上为实用而做的工作，非投影工作。且：改化小，公式简单；只在等级控制改化，图根控制、测图不顾及） 椭球面上 投影面上 B Bdc da dc da A C A C db db 2）因微分范围内投影前后
3、图形相似，则大比例尺图的图形与实地完全相似，应用方便。二、正形投影1.正形投影的特性有微分三角形如图：对于保角投影：AA ；BB ；CC所以长度比 故，正形投影在一个点（微分范围）上，各方向长度比相同。即投影后保持图形相似。例如下图，对一个任意形状的微小图形，总可以取一个边数极多的中点多边形逼近它，对于正形投影： a a b b o o e e c c d d 但上述特点只在微分范围内成立。在广大范围内，投影前后图形保持相似是不可能的（否则意味着椭球面可以展开）。因此，在大范围内，各处的长度比m必定不同。结论：正形投影的特性：长度比m与方向无关，但随点位而异。2.正形投影基本公式（充要条件）
4、l+dl L G l B+dB P2 B dS P1 特定子午线 设椭球面上有无限趋近的两点P1，P2椭球面上：P1(B，L)P2(BdB，LdL)大地线长度dS投影面上：p1(x，y)p2(xdx，ydy)大地线长度的投影ds x P2 ds P1 y o投影长度比为：下面分别推导上式中dS和ds：（dS和ds为曲线，但对微分线段，将其看成各自三角形的斜边）dS2(MdB)2(NcosBdl)2(MdB)2(rdl)2r2(dB)2(dl)2引入等量纬度， 则dq()dB（引入等量纬度纯粹为了推导公式方便）dS2r2(dq)2(dl)2 另： xF1(B，L)yF2(B，L) 因q与B有确定
5、的关系，l与L有确定的关系，所以有：xf1(q，l)yf2(q，l) 微分得： 故： P2 MdB A 90-A P1 rdl令： 则： ds2Edq22Fdq.dlGdl2故： 由微分三角形知： 所以： dldqtanA 将代入得：欲使投影为正形投影，长度比m应与方向(A)无关。为此：令：F0 ；EG 即： 则上式为： （可看出m与方向无关）由式可解得： 式代入得： 式开平方得： 取正号代入得： （注：式取正号意义是：选取椭球面和平面坐标轴方向时，要求在经线方向上q增加时，平面上x也增加；沿纬线方向l增加时，y也增加）故，椭球面到高斯平面上的正形投影公式（柯西黎曼方程）：（此即正形投影的充分
6、必要条件）3.证明复变函数xiyf(qil)当f存在、且0时亦为正形投影证明如下：基本投影公式 xF1(B，L)yF2(B，L)亦可写成 xf1(q，l)yf2(q，l)用复变函数形式写出为 xiyf(qil) （qil 复变数；）令 xiyzqilu则 zf(u) 求导 由、式可得 因 zxiy故 将、式代入式得 式虚实分开 此即柯西黎曼方程。证毕。练习及作业：1、阅读 8.1，8.22、理解： 、投影的必要性及方法。、投影的分类及测量采用的投影类型。、正形投影的特性。2 高斯投影及高斯平面直角坐标一、高斯投影的一般解释及其特性1.高斯投影的几何意义 x 中 央 子 午 线 y 边 缘 子
7、午 线 N p1 s P1 S p2 P2 o 赤道 S 高斯投影的几何意义是横轴椭圆柱正形投影。设想一横椭圆柱面套在椭球上，与某一子午线（称轴子午线或中央子午线）相切。椭圆柱的中心轴通过椭球中心，且与椭球短轴垂直。2.高斯投影的特性高斯投影是正形投影；中央子午线投影后应为x轴，且长度不变。3.高斯投影的一般解释轴子午线投影到椭圆柱面上展开为x轴。以O为投影中心，将赤道上各点投影到椭圆柱面上，为一长度变形直线。它垂直于x轴，称为y轴。椭球上任一段大地线S，以O为投影中心在横椭圆柱上投影为s，sS。长度变形m-1恒为正（轴子午线投影除外）。椭球上大地点P的坐标(B，L)，与投影后的坐标(x，y)，在B，L和x，y之间建立函数关系，即高斯投影。将中央子午线东西各一定的经差（6、3、1.5）范围投影到椭圆柱面上，展开后构成高斯平面直角坐标系；每个投影带构成一个独立的坐标系统，各带的计算具有一样性。4.控制网从椭球面上投影到高斯平面上的投影计算工作起算数据投影椭球面上已知元素：P1（B1，L1）；S；A12；投影到高斯平面上：p1(x1，y1)；s；A12；（平面上方位角为：T12A12r；r：平面子午收敛角；：方向改化） P2 S 轴 A12
