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1、 1 高考中档大题规范练(三)立体几何(推荐时间：70分钟)1(20xx江苏)如图，在三棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点已知PAAC，PA6，BC8，DF5.求证：(1)直线PA平面DEF；(2)平面BDE平面ABC.证明(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DEPA.又因为PA平面DEF，DE平面DEF，所以直线PA平面DEF.(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA6，BC8，所以DEPA，DEPA3，EFBC4.又因为DF5，故DF2DE2EF2，所以DEF90，即DEEF.又PAAC，DEPA，所以DEAC.因为ACEFE，AC平面ABC
2、，EF平面ABC，所以DE平面ABC，又DE平面BDE，所以平面BDE平面ABC.2(20xx江西)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1BC，A1BBB1.(1)求证：A1CCC1；(2)若AB2，AC，BC，问AA1为何值时，三棱柱ABCA1B1C1体积最大，并求此最大值(1)证明由AA1BC，知BB1BC.又BB1A1B，BC平面BCA1，A1B平面BCA1，故BB1平面BCA1，所以BB1A1C.又BB1CC1，所以A1CCC1.(2)解方法一设AA1x，在RtA1BB1中，A1B.同理A1C，在A1BC中，cosBA1C，sinBA1C ，所以SA1BCA1BA1CsinBA1C.
3、从而三棱柱ABCA1B1C1的体积VS直lSA1BCAA1.因为x ，故当x，即AA1时，体积V取到最大值.方法二如图所示，过A1作BC的垂线，垂足为D，连接AD.由AA1BC，A1DBC，故BC平面AA1D，BCAD.又AB2，AC，BC，所以AB2AC2BC2，故BAC90，所以SABCADBCABAC，所以AD.设AA1x，在RtAA1D中，A1D，SA1BCA1DBC.从而三棱柱ABCA1B1C1的体积VS直lSA1BCAA1.因为x ，故当x，即AA1时，体积V取到最大值.3如图所示，已知三棱锥ABPC中，APPC，ACBC，M为AB的中点，D为PB的中点，且PMB为正三角形(1)求
4、证：MD平面APC；(2)求证：平面ABC平面APC；(3)若BC4，AB20，求三棱锥DBCM的体积(1)证明由已知，得MD是ABP的中位线，所以MDAP.又MD平面APC，AP平面APC，故MD平面APC.(2)证明因为PMB为正三角形，D为PB的中点，所以MDPB.所以APPB.又APPC，PBPCP，所以AP平面PBC.因为BC平面PBC，所以APBC.又BCAC，ACAPA，所以BC平面APC.因为BC平面ABC，所以平面ABC平面APC.(3)解由题意，可知MD平面PBC，所以MD是三棱锥DBCM的一条高，在RtABC中，AB20，BC4，则CMAB10，又在正三角形PMB中，DM
5、5，所以DC5，所以cosDBC，则SBCDBDBCsinDBC542，所以VDBCMVMDBCSBCDMD2510.4在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，PD底面ABCD，且PDa，PAPCa，若在这个四棱锥内放一球，求此球的最大半径解当球内切于四棱锥，即与四棱锥各面均相切时球半径最大，设球的半径为r，球心为O，连接OP、OA、OB、OC、OD，则把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱锥，这些小棱锥的高都是r，底面分别为原四棱锥的侧面和底面，则VPABCDr(SPABSPBCSPCDSPADS正方形ABCD)r(2)a2.由题意，知PD底面ABCD，VPABCDS正方形ABC
6、DPDa3.由体积相等，得r(2)a2a3，解得r(2)a.5(20xx课标全国)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO平面BB1C1C.(1)证明：B1CAB；(2)若ACAB1，CBB160，BC1，求三棱柱ABCA1B1C1的高(1)证明连接BC1，则O为B1C与BC1的交点因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1CBC1.又AO平面BB1C1C，所以B1CAO，故B1C平面ABO.由于AB平面ABO，故B1CAB.(2)解作ODBC，垂足为D，连接AD.作OHAD，垂足为H.由于BCAO，BCOD，AOODO，故BC平面AOD，所以OHBC.又O
7、HAD，BCADD，所以OH平面ABC.因为CBB160，所以CBB1为等边三角形又BC1，可得OD.由于ACAB1，所以OAB1C.由OHADODOA，且AD，得OH.又O为B1C的中点，所以点B1到平面ABC的距离为，故三棱柱ABCA1B1C1的高为.6如图，四边形ABCD为正方形，EA平面ABCD，EFAB，AB4，AE2，EF1.(1)求证：BCAF；(2)若点M在线段AC上，且满足CMCA，求证：EM平面FBC；(3)试判断直线AF与平面EBC是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由(1)证明因为EFAB，所以EF与AB确定平面EABF.因为EA平面ABCD，所以EABC.
8、由已知，得ABBC且EAABA，所以BC平面EABF.又AF平面EABF，所以BCAF.(2)证明如图所示，过M作MNBC，垂足为N，连接FN，则MNAB.又CMAC，所以MNAB.又EFAB且EFAB，所以EFMN，且EFMN.所以四边形EFNM为平行四边形，所以EMFN.又FN平面FBC，EM平面FBC，所以EM平面FBC.(3)解AF平面EBC.证明如下：由(1)，可知AFBC.在四边形ABFE中，AB4，AE2，EF1，BAEAEF90，所以tanEBA，tanFAE，即tanEBAtanFAE，则EBAFAE.设AFBEP，因为PAEPAB90，故PBAPAB90.则APB90，即EBAF.又EB平面EBC，BC平面EBC，且EBBCB，所以AF平面EBC.
