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1、第8讲立体几何中的向量方法(二)求空间角最新考纲1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题；2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.知 识 梳 理1.异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则a与b的夹角l1与l2所成的角范围(0，)求法cos cos |cos |2.求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，则sin |cosa，n|.3.求二面角的大小(1)如图，AB，CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小_，.(2)如图，n1，n2 分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则
2、二面角的大小满足|cos |cosn1，n2|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.()(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.()(4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是0，.()答案(1)(2)(3)(4)2.(选修21P104练习2改编)已知两平面的法向量分别为m(0，1，0)，n(0，1，1)，则两平面所成的二面角为()A.45 B.135C.45或135
3、D.90解析cosm，n，即m，n45.两平面所成二面角为45或18045135.答案C3.(2014全国卷)在直三棱柱 ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，设BC2，则B(0，2，0)，A(2，0，0)，M(1，1，2)，N(1，0，2)，所以(1，1，2)，(1，0，2)，故BM与AN所成角的余弦值cos .答案C4.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且1，N为B1B的中点，则|为()A.a B.aC.a D.a解析以D为原
4、点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A( a，0，0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)，点M在AC1上且1，(xa，y，z)(x，ay，az)xa，y，z.得M，|a.答案A5.已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若 cosm，n，则l与所成的角为_.解析设l与所成角为，cosm，n， sin | cosm，n|，090，30.答案306.(2017郑州预测)过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD，若ABPA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为_.解析如图，建立空间直角坐标系，设ABPA1，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，由
5、题意，AD平面PAB，设E为PD的中点，连接AE，则AEPD，又CD平面PAD，CDAE，从而AE平面PCD.所以(0，1，0)，分别是平面PAB，平面PCD的法向量，且，45.故平面PAB与平面PCD所成的二面角为45.答案45考点一利用空间向量求异面直线所成的角【例1】 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，E是PC的中点.已知AB2，AD2，PA2.求：(1)PCD的面积.(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.解(1)因为PA底面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD.又ADCD，PAADA，所以CD平面PAD，又PD平面PAD，从而CDPD.因为PD2，
6、CD2，所以PCD的面积为222. (2)法一如图1，取PB中点F，连接EF，AF，则EFBC，从而AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角.图1在AEF中，由于EF，AF，AEPC2.所以AF2EF2AE2，AFE90，则AEF是等腰直角三角形，所以AEF.因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是.法二如图2，建立空间直角坐标系，则B(2，0，0)，C(2，2，0)，E(1，1)，(1, ，1)，(0，2，0).图2设与的夹角为，则cos ，所以.由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是.规律方法(1)利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：选好基底或建立空间直角坐标系；求出两直线
7、的方向向量v1，v2；代入公式|cosv1，v2|求解.(2)两异面直线所成角的范围是，两向量的夹角的范围是0，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.【训练1】 (2016上海卷)将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.(1)求三棱锥CO1A1B1的体积；(2)求异面直线B1C与AA1所成的角的大小.解(1)连接A1B1，因为，O1A1B1A1O1B1，O1A1B1为正三角形，SO1A1B1O1A1O1B1sin 60.VC
8、O1A1B1OO1SO1A1B11，三棱锥CO1A1B1的体积为.(2)以O为坐标原点建系如图，则A(0，1，0)，A1(0，1，1)，B1，C.(0，0，1)，(0，1，1)，cos，异面直线B1C与AA1所成的角为.考点二利用空间向量求直线与平面所成的角【例2】 (2016全国卷)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点.(1)证明MN平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.(1)证明由已知得AMAD2.取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TNBC，TNBC2.又ADBC，故
9、TN綉AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)解取BC的中点E，连接AE.由ABAC得AEBC，从而AEAD，且AE.以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知，P(0，0，4)，M(0，2，0)，C(，2，0)，N，(0，2，4)，.设n(x，y，z)为平面PMN的法向量，则即可取n(0，2，1).于是|cosn，|.所以直线AN与平面PMN所成的角的正弦值为.规律方法利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补
10、角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.【训练2】 (2017福州质检)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，ABAC1，BB12，ABB160.(1)证明：ABB1C；(2)若B1C2，求AC1与平面BCB1所成角的正弦值.(1)证明连接AB1，在ABB1中，AB1，BB12，ABB160，由余弦定理得，ABAB2BB2ABBB1cosABB13，AB1，BBAB2AB，AB1AB.又ABC为等腰直角三角形，且ABAC，ACAB，ACAB1A，AB平面AB1C.又B1C平面AB1C，A
11、BB1C.(2)解AB1，ABAC1，B1C2，B1C2ABAC2，AB1AC.如图，以A为原点，以，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B1(0，0，)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，(1，0，)，(1，1，0).设平面BCB1的一个法向量为n(x，y，z)，由得令z1，得xy，平面BCB1的一个法向量为n(，1).(0，1，0)(1，0，)(1，1，)，cos，n，AC1与平面BCB1所成角的正弦值为.考点三利用空间向量求二面角(易错警示)【例3】 (2017金丽衢十二校联考)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，B1BB1AABBC，B1BC9
12、0，D为AC的中点，ABB1D.(1)求证：平面ABB1A1平面ABC；(2)求直线B1D与平面ACC1A1所成角的正弦值；(3)求二面角BB1DC的余弦值.(1)证明取AB中点为O，连接OD，OB1，B1BB1A，OB1AB.又ABB1D，OB1B1DB1，AB平面B1OD，OD平面B1OD，ABOD.B1BC90，即BCBB1，又ODBC，ODBB1，又ABBB1B，OD平面ABB1A1，又OD平面ABC，平面ABC平面ABB1A1.(2)解由(1)知，OB，OD，OB1两两垂直.以O为坐标原点，的方向为x轴的方向，|为单位长度1，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题设知B1(0，0
13、，)，D(0，1，0)，A(1，0，0)，C(1，2，0)，C1(0，2，).则(0，1，)，(2，2，0)，(1，0，).设平面ACC1A1的一个法向量为m(x，y，z)，则由得可取m(，1).cos，m，直线B1D与平面ACC1A1所成角的正弦值为.(3)解由题设知B(1，0，0)，则(1，1，0)，(0，1，)，(1，1，0).设平面BB1D的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，则由得可取n1(，1).同理可得平面B1DC的一个法向量为n2(，1)，cosn1，n2.二面角BB1DC的余弦值为.规律方法利用向量计算二面角大小的常用方法：(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.易错警示对于：用线面垂直的判定定理易忽视面内两直线相交；对于：建立空间直角坐标系，若垂直关系不明确时，应先给出证明；对于：线面角的正弦sin
