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1、数学必修五的知识点框架整合20222em; text-align: center; 数学必修五的知识点框架整合 【差数列的基本性质】 公差为d的等差数列,各项同加一数所得数列仍是等差数列,其公差仍为d. 公差为d的等差数列,各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列,其公差为kd. 若a、b为等差数列,则ab与ka+b(k、b为非零常数)也是等差数列. 对任何m、n,在等差数列a中有：a=a+(n-m)d,特别地,当m=1时,便得等差数列的通项公式,此式较等差数列的通项公式更具有一般性. 、一般地,如果l,k,p,m,n,r,皆为自然数,且l+k+p+=m+n+r+(两边的自然数个数相等),那么当a
2、为等差数列时,有：a+a+a+=a+a+a+. 公差为d的等差数列,从中取出等距离的项,构成一个新数列,此数列仍是等差数列,其公差为kd(k为取出项数之差). 如果a是等差数列,公差为d,那么,a,a,a、a也是等差数列,其公差为-d;在等差数列a中,a-a=a-a=md.(其中m、k、) 在等差数列中,从第一项起,每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项. 当公差d0时,等差数列中的数随项数的增大而增大;当d0时,等差数列中的数随项数的减少而减小;d=0时,等差数列中的数等于一个常数. 设a,a,a为等差数列中的三项,且a与a,a与a的项距差之比=(-1),则a=. 【等差数列前n
3、项和公式S的基本性质】 数列a为等差数列的充要条件是：数列a的前n项和S可以写成S=an+bn的形式(其中a、b为常数). 在等差数列a中,当项数为2n(nN)时,S-S=nd,=;当项数为(2n-1)(n)时,S-S=a,=. 若数列a为等差数列,则S,S-S,S-S,仍然成等差数列,公差为. 若两个等差数列a、b的前n项和分别是S、T(n为奇数),则=. 在等差数列a中,S=a,S=b(nm),则S=(a-b). 等差数列a中,是n的一次函数,且点(n,)均在直线y=x+(a-)上. 记等差数列a的前n项和为S.若a0,公差d0,则当a0且a0时,S;若a0,公差d0,则当a0且a0时,S
4、最小. 【等比数列的基本性质】 公比为q的等比数列,从中取出等距离的项,构成一个新数列,此数列仍是等比数列,其公比为q(m为等距离的项数之差). 对任何m、n,在等比数列a中有：a=aq,特别地,当m=1时,便得等比数列的通项公式,此式较等比数列的通项公式更具有普遍性. 一般地,如果t,k,p,m,n,r,皆为自然数,且t+k,p,m+=m+n+r+(两边的自然数个数相等),那么当a为等比数列时,有：a.a.a.=a.a.a. 若a是公比为q的等比数列,则|a|、a、ka、也是等比数列,其公比分别为|q|、q、q、. 如果a是等比数列,公比为q,那么,a,a,a,a,是以q为公比的等比数列.
5、如果a是等比数列,那么对任意在n,都有aa=aq0. 两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列,且公比等于这两个数列的公比的积. 当q1且a0或00且01时,等比数列为递减数列;当q=1时,等比数列为常数列;当q0时,等比数列为摆动数列. 【集合】 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素. 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性;2.元素的互异性;3.元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素. (2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同
6、的对象归入一个集合时,仅算一个元素. (3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样. (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性. 3、集合的表示：如我校的篮球队员,太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋 1.用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 2.集合的表示方法：列举法与描述法. 注意啊：常用数集及其记法： 非负整数集(即自然数集)记作：N 正整数集N或N+整数集Z有理数集Q实数集R 关于属于的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如：a是集合A的元素,就说a属于集合A记作aA,相
7、反,a不属于集合A记作a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上. 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法.用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法. 语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 数学式子描述法：例：不等式x-32的解集是x?R|x-32或x|x-32 4、集合的分类： 1.有限集含有有限个元素的集合 2.无限集含有无限个元素的集合 3.空集不含任何元素的集合例：x|x2=-5 二、集合间的基本关系 1.包含关系子集 注意：有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合. 反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含
8、集合A,记作AB或BA 2.相等关系(55,且55,则5=5) 实例：设A=x|x2-1=0B=-1,1元素相同 结论：对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即：A=B 任何一个集合是它本身的子集.AA 真子集:如果AB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA) 如果AB,BC,那么AC 如果AB同时BA那么A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集,记为 规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集. 三、集合的运算 1.交集的定义：一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集
9、合,叫做A,B的交集. 记作AB(读作A交B),即AB=x|xA,且xB. 2、并集的定义：一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作：AB(读作A并B),即AB=x|xA,或xB. 3、交集与并集的性质：AA=A,A=,AB=BA,AA=A, A=A,AB=BA. 4、全集与补集 (1)补集：设S是一个集合,A是S的一个子集(即),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集) (2)全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集.通常用U来表示. (3)性质：CU(CUA)=A(CUA)(CUA)A=
10、U 【立体几何】 柱、锥、台、球的结构特征 棱柱 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱。 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五
11、棱锥 几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 棱台 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台 几何特征：上下底面是相似的平行多边形侧面是梯形侧棱交于原棱锥的顶点 圆柱 定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。 几何特征：底面是全等的圆;母线与轴平行;轴与底面圆的半径垂直;侧面展开图是一个矩形。 圆锥 定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体。
12、 几何特征：底面是一个圆;母线交于圆锥的顶点;侧面展开图是一个扇形。 圆台 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：上下底面是两个圆;侧面母线交于原圆锥的顶点;侧面展开图是一个弓形。 球体 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：球的截面是圆;球面上任意一点到球心的距离等于半径。 NO.2空间几何体的三视图 定义三视图 定义三视图：正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、俯视图(从上向下) 注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度; 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了
13、物体的长度和宽度; 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 NO.3空间几何体的直观图斜二测画法 斜二测画法 斜二测画法特点 原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变; 原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。 直线与方程 直线的倾斜角 定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0180 直线的斜率 定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 过两点的直线的斜率公式： (注意下面四点
14、) (1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90; (2)k与P1、P2的顺序无关; (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 幂函数 定义 形如y=xa(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。 定义域和值域 当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇
