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1、 第二十二届”希望杯”全国数学邀请赛 初一 第2试 2011年4月10日 上午9：00至11：00 得分未经“希望杯”组委会授权，任何单位和个人均不准翻印或销售此试卷，也不准以任何形式（包括网络）转载。一、选择题(每小题4分，共40分。)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确的英文字母写在每题后面的圆括号内。1. 有理数a，b满足20a+11| b |=0 (b0)，则是 (A) 正数 (B) 负数 (C) 非正数 (D) 非负数 。图1ONMABPQ2. 如图1，直线MN/直线PQ，射线OA射线OB，BOQ=30。若以点O为旋转中心，将射线OA顺时针旋转60后，这时图中30的角
2、的个数是 (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1 。3. 有理数a，b在数轴上对应的位置如图2所示，那么代数式图2-1ab10-+-的值是 (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 。GABCDEFHHIS1S2S3S4图34. 如图3，ABCD，AEFG，BIHE都是平行四边形，且E是DC的中点，点D在FG上，点C在HI上。GDA，DFE，EHC，BCI的面积依次记为S1，S2，S3，S4，则 (A) S1+S2S3+S4 (B) S1+S2S3+S4 (C) S1+S2=S3+S4 (D) S1+S2与S3+S4大小关系不确定 。5. If x is a prime num
3、ber, y is an integer, and x21-x=, than xy2= (A) 8 (B) 16 (C) 32 (D) 64 。 (英汉小辞典：prime number 质数，integer：整数)6. 如图4，AB/CD/EF/GH，AE/DG，点C在AE上，点F在DG上。设与a相等的角的个数为m，与b互补的角的个数为n，若ab，则m+n的值是 (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11 。图4FDEGaHABCb7. 甲用1000元购买了一些股票，随即他将这些股票转卖给乙，获利10%，而后乙又将这些股票反卖给甲，但乙损失了10%。最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这些股
4、票卖给了乙，若上述股票交易中的其它费用忽略不计，则甲 (A) 盈亏平衡 (B) 盈利1元 (C) 盈利9元 (D) 亏损1.1元 。8. 梯形的上底长5，下底长10，两腰分别长3和4，那么梯形的面积是 (A) 18 (B) 22.5 (C) 26.25 (D) 30 。9. 已知| x |3，| y |1，| z |4且| x-2y+z |=9，则x2y2011z3的值是 (A) 432 (B) 576 (C) -432 (D) -576。10. 如图5，BP是ABC中ABC的平分线，CP是ACB的外角的平分线，如果ABP=20，ACP=50，则A+P=ABCDEF图6图5AB20CM50 (
5、A) 70 (B) 80 (C) 90 (D) 100 。二、填空题 (每小题4分，共40分)11. 若y2=2x-a，则4x2-4ax-4x2y+2ay2+y4+a2-1= 。12. 如图6，有两个长度相同的滑梯BC和EF，滑梯BC的高度 AC等于滑梯EF在水平方向上的长度DF，则ABC+DFE = 度。13. 能被7整除的各个数码均不相同的最小的十位数是= 。14. 如图7，j，k，l，m都是由9个边长为1厘米的正方形组成的33平方厘米的正方形，其中的阴影四边形的面积分别记为S1，S2，S3和S4。则S1，S2，S3和S4中最小的与最大的和是 平方厘米。j图7S1S2S3S4klm15.
6、已知x= -1时，3ax5-2bx3+cx2-2=10，其中a：b：c=2：3：6，那么= 。16. 将长与宽分别为6与4的长方形纸片剪去3个等腰直角三角形后，剩余部分的面积最小是= 。17. 有甲、乙两辆小汽车模型，在一个环形轨道上匀速行驶，甲的速度大于乙。如果它们从同一点同时出发沿相反方向行驶，那么每隔1分钟相遇一次。现在，它们从同一点同时出发，沿相同方向行驶，当甲第一次追上乙时，乙已经行驶了4圈，此时它们行驶了 分钟。ACBDEF5168图818. 如图8，长方形ABCD的长为8，宽为5，E是AB的中点，点F在BC上，已知DEF的面积为16，则点D到直线EF的距离为 。19. If A=
7、 is a positive interger, then themaximum value of positive interger n is 。20. 自然数n的各位数字中，奇数数字的和记为S(n)，偶数数字的和记为E(n)，例如S(134)=1+3 =4，E(134)=4，则S(1)+S(2)+S(100)= ，E(1)+E(2)+E(100)= 。三、解答题 每题都要写出推算过程。21. (本题满分10分)甲乙两车在A，B两城连续地往返行驶。甲车从a城出发，乙车从b城出发，且比甲车早出发1小时，两车在途中分别距离A、B两城为200千米和240千米的C处第二次相遇。相遇后，乙车改为按甲车
8、的速度行驶，而甲车却提速了，之后两车又再C处第二次相遇。之后如果甲车再提速5千米/时，乙车再提速50千米/时，那么两车在C处再次相遇，求乙车出发时的速度。22. (本题满分15分)图9A45ABCB30PQA45ABCB30q如图9所示，C=90，RtABC中，A=30，RtABC中，A=45。点A、B分别在线段AC、BC上。将ABC绕直角顶点C顺时针旋转一个锐角q 时，边AB分别交AB、AC于P、Q，且APQ为等腰三角形。求锐角q 的度数。23. (本题满分15分)若矩形的长、宽和对角线的长度都是数，求证：这个矩形的面积是12的倍数。第二十二届”希望杯”全国数学邀请赛 初一 第2试简答一、选
9、择题1. B， 2. A， 3. D， 4. C， 5. C， 6. D， 7. B， 8. A， 9. D， 10. C，二、填空题11. -1， 12. 90， 13. 1023456798， 14. 7， 15. ， 16. ， 17. 12， 18. ， 19. 150， 20. 501；400， 21. 80千米/时。 22. 15，60。23. 证法1 设矩形的长、宽和对角线长分别为a，b，c且a，b，c都是整数，则根据勾股定理知 a2+b2=c2，我们只需证明a，b，c中必有一个能被3整除，也必有一个能被4整除。 (1) 先证“a，b中必有一个能被3整除”。 若a，b都不是3的倍
10、数，则a2与b2必被3除余1，则c2必被3除余2，但完全平 方数被3除只能余0或1，故矛盾。所以a，b中必有3的倍数，即ab为3的倍数。 (2) 再证“a，b中必有一个能被4整除”。 将a2+b2=c2中的a，b，c的公约数约去，得x2+y2=z2，其中x，y，z两两互质。我 们只需证明“x，y中必有一个能被4整除”即可。首先x，y不能全是奇数，因为， 若x，y均为奇数，则x2与y2必都被4除余1，于是z2必被4除余2，但完全平方 数被4除只能余0或1，故矛盾。所以x，y不能全是奇数。因为x，y互质，所以， x，y也不能全是偶数，因此x，y只能是一奇一偶，不妨设x=2p+1，y=2m (其中p
11、， m均为整数)，此时z是奇数，设z=2q+1 (q为整数)，代入y2=z2-x2中，得 4m2=(2q+1)2-(2p+1)2=4(q2+q-p2-p)，即m2=q(q+1)-p(p+1)，因为q(q+1)与p(p+1)都 是两个连续整数的乘积，所以q(q+1)与p(p+1)都能被2整除，于是m2为偶数，因 此m为偶数，设m=2n (n为整数)，则y=2n=22m=4m，于是y能被4整除。 综上，a，b中必有一个能被3整除，也必有一个能被4整除。又因为(3，4)=1，所以 ab能被12整除，即这个矩形的面积必为12的倍数。证法2 设a，b都不是4的倍数，则a，b均为奇数；或a，b中的一个为奇
12、数，另一个为被4 除余2的数；或a，b都是被4除余2的数。 (1) 若a，b均为奇数，则a2与b2必被4除余1，则c2必被4除余2，但完全平方数被 4除只能余0或1，矛盾。 (2) 若a，b中一个是奇数，另一个是被4除余2的数；不妨设a=2k+1，b=2(2m+1) (其 中k，m均为整数)，则a2=4k2+4k+1=4k(k+1)+1。因为连续整数之积k(k+1)能被2 整除，所以a2被8除余1，而b2=22(2m+1)2=16m(m+1)+4，于是b2被32除余4，所 以a2+b2被8除余5，即c2被8除也余5，但完全平方数被8除只能余0或1或4， 矛盾。 (3) 若a，b都是被4除余2的数。设a=2(2k+1)，b=2(2m+1) (其中k，m均为整数)， 则由a2+b2=c2知c2为偶数，于是c为偶数，设c=2n，则a2+b2=(2n)2=4n2，即 22(2k+1)2+22(2m+1)2=4n2，约去公因子4，得(2k+1)2+(2m+1)2=4n2，变成两个奇数平 方和的情形，根据(1)得出矛盾。 综上，假设“a，b都不是4的倍数”不成立，所以“a，b中必有一个能被4整除”成立。 因为(3，4
