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1、一道组合题的演变【例题】将10个相同小球放入3个盒子，每个盒子不空，问有 多少种方法？分析：将10个相同小球看成10个相同元素，因每个盒子不空， 相当于在10个元素间的9空档中插入两块板，将其分成3组，有 多少种分法问题，由组合知识，显然有种放法。此题相当于方程：x1+x2+x3=10有多少组正整数解的问题，推广到一般：方程x1+x2+xm=n（m,n n*且nm）的正整数解 有多少组？分析：这个方程转化为n个相同小球放入m个不同盒子，每个盒 子不空，有多少种放法？用插板法易得种方法。结论1:方程：x1+x2+xm=n（m,n n*且nm）的正整数解组数那么：x1+x2+ +xm=n（m,n
2、n*且nm）的非负整数解有多少组？分析：用分类讨论思想，将其转化为方程组的正整数解的个数方法一：此题对应于n个相同小球放入m个盒子，盒子允许不放 球，问有多少种方法？第一种情况：若m-1个盒子空，有 x 1种方法；第二种情况：若m-2个盒子空，有种方法；第三种情况：若m-3个盒子空，有种方法；论文发表专家一 趣|中国学木期刊网 .q i kanwang .nel第m种情况：若0个盒子空，有1X种方法上式相当于有m个女生，（n-1 ）个男生，从中选（m-1）个学生 的选法种数问题。方法二：因方程x1+x2+xm=n（m,n n*且nm）解中未知数允许为零，可对每一个未知数都添数字1，这样方程x1+x2+xm=n（m,n n*且nm）的非负整数解的组数可等价转化为x1+x2+xm=n+n的正整数解的组数，由结论1知x1+x2+xm=n+m正整数解的组数为组结论2:方程x1+x2+xm=n的非负整数解的组数为（作者单位：河南省陕县陕州中学）
