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1、1.4度量空间的列紧性与紧性1.4.1胸怀空间的紧性Compactness在微积分中，闭区间上的连续函数拥有最大值、最小值、一致连续等，这些性质的建立鉴于一个重要的事实：R的紧性，即有界数列必有收敛子列但这一事实在胸怀空间中却未必建立例1.4.1设XL2,f|(L)|f(x)|2dx，对于f,gX，定义1d(f,g)(|f(x)g(x)|2dx)2，令()sin，那么是有界的发散点列fn(x)fnxnx证明因为所以fn(x)为有界点列对于随意的n,mN，有所以fn(x)不是基本列，自然不是收敛列定义1.4.1列紧集、紧集与紧空间Sequentiallycompactset,Compactset
2、,Compactspace设X是胸怀空间，AX(1)假如A中任何点列都有收敛于X的子列，则称A为列紧集(或致密集、或相对紧集)；(2)假如A是列紧集，也是闭集，则称A为紧集；(3) 假如X自己是列紧集(必是闭集)，则称X为紧空间注1：若A是X的列紧集，XnA且xnx0(n)，那么x0A？若A是X的紧集，x0A？定理1.4.1设(X,d)是胸怀空间，以下各命题建立：(1) X的任何有限集必是紧集；(2) 列紧集的子集是列紧集；(3) 列紧集必是有界集，反之不真证明(1)、(2)易证下边仅证(3)假定AX是列紧集，但A无界取x1A固定，则存在x2A，使得d(x1,x2)1对于x1,x2，必存在x3
3、A，使得d(x1,x3)1、d(x2,x3)1因为A是无界集，可依此类推获得X的点列Xn知足：只需ij，就有d(xi,xj)1显然点列Xn无收敛子列，进而A不是列紧集致使矛盾，故A是有界集反过来，A是有界集，A未必列紧反例：空间XL2,上的闭球BO(0,)有界，而不是列紧集(见例1.1)注2：R中的开区间(0,1)是列紧集，却不是紧集(因为R中的有界数列必有收敛子列，所以(0,1)中的数列必有收敛子列，但(0,1)不是闭集，故列紧不紧)注3：自然数N=1,2,L,n,L不是列紧集(N无界)推论1.4.1(1)紧空间是有界空间；(2)紧空间是齐备空间证明(1)若X为紧空间，那么X自己为列紧集，而
4、列紧集有界，故X为有界空间(2)若X为紧空间，即它的任何点列有收敛子列，进而知X中的基本列有收敛子列，依据基本列的性质(若基本列含有收敛子列，则该基本列收敛，且收敛到子列的极限)，可得X中的基本列收敛，所以X为齐备的空间对于n维殴氏空间Rn中的列紧集、紧集的特征有以下定理定理1.4.2设ARn，Rn是n维殴氏空间，那么(1)A是列紧集当且仅当A是有界集；(2)A是紧集当且仅当A是有界闭集证明(1)必需性明显建立；利用闭球套定理能够证明：假如A是有界的无穷集，则A拥有极限点，进而可证充足性(2)由(1)易得注4：因为R中的非空紧集A就是有界闭集，定义A上的连续函数拥有最大与最小值，这一事实在胸怀
5、间中依旧建立第一说明连续映照将紧集映照为紧集引理1.4.1设f是从胸怀空间(X,d)到(Y,)上的连续映照(称为算子)，A是X中的紧集，那么f(A)集证明设Ef(A)，第一证明E是Y中的列紧集(距离)空是Y中的紧ynE，xnA，使得ynf(xn)，n1,2,L因为A是紧集，所以点列xn存在收敛的子列xnk，且xnkx0A，又知f是X上的连续映照，于是limynklimf(xnk)f(x0)Ekk即yn有收敛于E的子列ynk，所以E为Y中的列紧集再证E是闭集设ynE，yny0(n)，依据A的紧性和连续映照f可得，对应的点列xn(ynf(xn)存在收敛的子列xnk，xnkx0A进而y0limynl
6、imynklimf(xnk)f(x0)E，nkk即E是闭集定理最值定理设A是胸怀空间X中的紧集，f是定义在X上的实值连续函数(泛函)，即f:XR，那么f在A上获得最大值与最小值证明设Ef(A)，由上述引理知E是R中的紧集所以E是R中的有界集，于是上、下确界存在，设Msupf(x)|xA，minff(x)|xA下证M是f在A上获得的最大值，同理可证m是f在A上获得的最小值由确界性的定义知，n，xnA，使得f(xn)M1，即可得M1f(xn)MM1nnn再由A为紧集知存在xnkxn，使得xnkx*A(k),于是令k，有f(x*)M，所以M是f在A上获得的最大值1.4.2胸怀空间中的全有界性刻画列紧
7、性的重要观点之一是全有界性，经过以下的议论可知：(1)胸怀空间中的列紧集必是全有界集；(2)在齐备胸怀空间中，列紧集和全有界集两者等价定义网设X是胸怀空间，A,BX，给定0假如对于A中任何点x，必存在B中点x，使得d(x,x)，则称B是A的一个网即AUO(x,)xB图4.1B是A的一个网表示图比如：全体整数集是全体有理数的0.6网；平面上坐标为整数的点集是R2的0.8网图4.2整数集Z是全体有理数Q的0.6网表示图定义1.4.3全有界集设X是胸怀空间，AX，假如对于任给的0，A总存在有限的网,则称A是X中的全有界集n注5：依据定义可知A是X中的全有界集等价于0，x,x,L,xX,使得AUO(x
8、i,)，此中Ox12n(i,)表i1示以xi中心，以为半径的开邻域n引理A是胸怀空间X的全有界集当且仅当0，x,x,L,xA,使得AUO(x,)12nii1n证明当A是全有界集时，0，x1,x2,L,xnX,使得AUO(xi,)不如设1in有O(xi,)IA，i122选用yiO(xi,)IA，明显y1,y2,L,ynY以及O(xi,)O(yi,)，所以22nnAUO(xi,)UO(yi,)i12i1注6：在Rn中，不难证明全有界集与有界集等价，那么在一般的胸怀空间中这样的结论建立吗？仍是只在齐备的胸怀空间中建立？下边给出有界集和全有界集的关系定理1.4.4全有界集的特征设X是胸怀空间，AX，若A是全有界集，则(1)A是有界集；(2)A是可分集证明(1)设A是全有界集，取1，由定义知，nN及x1,x2,L,xnX,使得nA UO(xi,1)i 1现令maxd(x1,xi)1AM1，则易知是有界集2inAO(x,M)，可见(2)设A是全有界集，下证A有可列的浓密子集1(n)(n)(n)kn(n)1，下边证明UB由引理1.4.2知对于是nBnx1,x2,L,xkAn(n1,2,L)，存在，使得Ai)nUO(x,ni1nn1A 的浓密子集xA，0，存在n0N，使得1，因为Bn0是A的1网，故xn0Bn0UBn，使d(x,xn0)1
