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1、14.3 因式分解1. 因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。2常用的因式分解方法：(1) 提公因式法：对于ma + mb + me，叫做公因式，叫做提公因式法。 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 公因式的构成：系数：各项系数的；字母：各项都含有的相同字母；指数：相同字母的最低次幕。(2) 公式法： 常用公式平方差：完全平方：立方和：a3 + b3 =(a+b)(a2-ab+b2) 立方差： 常见的两个二项式幕的变号规律：(a b)2n = (b a)2n ； (a b)2nt
2、 = _(b a)2nt .( n 为正整数)(3) 十字相乘法 二次项系数为1的二次三项式x 2 + px + q中，如果能把常数项q分解成两个因式a，b 的积，并且a + b等于一次项系数中p，那么它就可以分解成 二次项系数不为1的二次三项式ax2 + bx + e中，如果能把二次项系数a分解成两个因数ai, a2的积，把常数项C分解成两个因数C1, C2的积，并且aiC2 + a2C1等于一次项系数b， 那么它就可以分解成： ,、(“、ax 2 + bx + e = a a x 2 + a e + a e )x + e e =ax + a 丿(a x + e 丿1 2 1 2 2 1 1
3、 2 1 2 2 。(4) 分组分解法定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如a2_b2 + a _b没有公因式，又不 能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因 式或利用公式法，即可达到分解因式的目的。例女口 a2 _b2 + a _b =(a2 _b2) +(a _b) - (a _ b)(a + b) +(a _ b) - (a _b)(a + b +1)这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。 原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。 有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将
4、多项式 正确分解即可。方法分类分组方法特点分 组 分 解 法四项二项、二项按字母分组按系数分组符合公 式的两项分组三项、一项先完全平方公式后平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式六项三项、三项二项、二项、二项各组之间有公因式三项、二项、一项可化为二次三项式【题型解析】【题型一】 提公因式法.：ma+mb+mc二m(a+b+c)例 1 分解因式：(1)(1)8 a 3b2 12 ab3c(2) -3m4n3 + 12m3n2 - 9m2n【训练 1】 分解因式(1) -x2y+4xy-5y(2) m2(a-3) +m(3-a)(3) a2(x一2a)2 + a(2a一x)3(4) x4-x2【
5、题型二】 运用公式法 运用平方差公式，完全平方公式，把一个多项式分解因式的方法叫做运用公式法(1)平方差公式 a2 b2 = (a+b)(a-b)(2)完全平方公式a2 +2ab+ b2 = ( a + b)2a2 - 2ab+ b 2=( a - b)2例1分解下列因式：(1)- 2a 2 + 4ab - 2b 2(2) x2 一 4xy 一 1 + 4y2(3) (m2 -1)2 + 6(1-m2) + 94)计算：12 一 221 + 232 一 423 + 452 一 625 + 620032 - 200422003 + 2004(2) x 一 3 x 一 10(2) x2 + 5x
6、+ 6 = x 2 + 5 x - 6 =( 2 ) 6 x 2 一 7 x 一 52) 3x25x+2训练 1】 把下列各式分解因式：(1)1一1 m + 丄m2(2) 49a2+112ab 64b2(3)已知 x=a -b,求x2 一2x 一 2七 22 16【题型三】十字相乘法例1因式分解x2 +10x + 9；【训练 1】因式分解(1) x 2 一 5 x + 6 =(3) x2 -5x-6 =二二二 例2分解因式：(1) 2x2 -7x + 3；【训练1】因式分解( 1 ) 2x2 + 7x+ 3(3) 2x2+5x7(4) 5x23x2【题型四】分组分解法例1四项1将X3-x2y-
7、xy2+y3分组分解，下列的分组方法不恰当的是A( x3-x2y) +( -xy2+y3)C( x3+y3) +( -x2y-xy2)2. 将下列各式因式分解B( x3-xy2) +( -x2y+y3)D( x3-x2y-xy2) +y3(1) 7x2-3y+xy-21x1(3)- n2 + m2 - m4例2五项(1) x 4 + x 3 + 4 x 2 + 3x + 3(2) 5x3 -15x2 - x + 3(4) 1-x2+4xy-4y2(2) x 3 + x 2 一 2 xy + y 2 一 y 3(3) a2 - 4ab + 4b2 - 2a + 4b例3六项(4) a 2 + 4
8、ab + 4b 2 - ac - 2bc(1) ax 2 - bx 2 + bx - ax + a - b(2) 2ax - 4bx + 2x - 3ay + 6by - 3 y(3) a5 + a4 + a3 + 2a2 + 2a + 2(4) ax + 2by + cx - 2ay - bx - 2cy强化训练】1、a5a2、16a2b2 -13、a22abb2ab4、3x -12x35、a2bc3a2c28abc6ac26、2 x 2 + 2 x + 2(2x y)2 (x + 2y)28、(y2 + 3y) (2y + 6) 216a29b210、 4x212x+ 912、 3m(a
9、b)3 18n(b a)314、 (m+ n)2 (m n)2 16、 6x213x52x2+x17、9、19、22、2 x2 - x - 33b 2 +14 b - 511、 4x3+ 8x2+ 4x13、 20a3x45ay215、 (x2+ 1)24x218、 9x235x421、 5x2-21x+1824 、 3 a 2 - 2 a - 1 2b 2 + 7b -154x212x520、 2x2-5x-323、2 x 2 + 5 x 726、3a2 + 4a 429、 x2(x-2)2-917、25、28、31【复习提高】(x2 -3)2 -4x2 ；(x2 + x)2 一 17(x2
10、 + x) + 60 ；30、32 、27、(3x2 + 2x +1)2 - (2x2 + 3x + 3)2 ； (x2 + 2x)2 7(x2 + 2x) 8 ；1. 2x4y24x3y2+10xy43.3a(b-1)-24a3(b-1)5. x3 - x2 - x + 17. x 28. 已知 x2+y2-4x+6y+13=0,求 x,y. 已知a、b、c是厶abc的三边, 等边三角形。( i y1 -22人11、12、5xn+115xn+60xn1.-a 2 - b 2 + 2ab + 4(x + y)2 y 2 - 12(x + y)y 2 + 36y 2 - y 4 (x + y)2
11、 -12x(x + y)2 + 36(x + y)2 - (x + y)49、已知 x+y=4,xy=1.5，求 x3y + 2x2y2 + xy3 的值。且满足 a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac ,求证：AABC 为计算：13、14、15、(1 -二I 92人2.4.6.计算 20022 20012 + 20002 19992 +19982 弋 2 12,已知：m2 = n+2, n2=m+2(mHn)，求：m3 2mn + na 的值。1 -丄丫32人19921002 丿16、 若 m + n 二 10， mn = 24，贝V m2 + n =.17、已知a2 + b2 - 6a - 8b + 25 = 0，则代数式-的值是ab18、已知： x2 - 2x + y2 + 6y +10 = 0，贝U x =， y =。
