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1、2014届越秀区高三摸底考试试卷数 学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分考试用时120分钟注意事项：1答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号、座号”处填涂考生号、座位号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在学校、班级，以及自己的姓名填写在答题卷上2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效4作答选做题时，请先用2B铅
2、笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答漏涂、错涂、多涂的，答案无效5考生必须保持答题卷的整洁考试结束后，将试卷和答题卷一并交回参考公式：圆锥的侧面积公式，其中是圆锥的底面半径，是圆锥的母线长.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合，则（ ）.A. B. C. D.2.已知，则（ ）.A. B. C. D. 3.设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）.A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是底边长为6、腰长为5的等腰三角形，则这个几何体
3、的全面积为（ ）.A. B.C. D.5.在ABC中，则ABC的面积为（ ）.A.3 B.4 C.6 D.6.函数的零点所在的一个区间是（ ）.A. B. C. D.7.若双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ）.A. B. C.2 D.8.若过点的直线与曲线和都相切，则的值为（ ）.A.2或 B.3或 C.2 D.二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（913题）9若复数满足，则复数的实部是 .10.的展开式中的常数项是 .（用数字作答）11.执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是 .12.已知实数满足，则的最大值是 .13.在区间上随机取一
4、个数，在区间上随机取一个数，则关于的方程有实根的概率是 .（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）14（几何证明选讲选做题）如图，AB为O的直径，弦AC、BD相交于点P，若，则的值为 .15（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程是（为参数），以直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程是 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）已知函数，的最大值是1，最小正周期是，其图像经过点（1）求的解析式；（2）设、为ABC的三个内角，且，求的值17.（本小题满分12分）某超
5、市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的50位顾客的相关数据，如下表所示：一次购物量（件）1n34n67n910n12n13顾客数（人）20105结算时间（分钟/人）0.511.522.5已知这50位顾客中一次购物量少于10件的顾客占80.（1）确定与的值；（2）若将频率视为概率，求顾客一次购物的结算时间的分布列与数学期望；（3）在（2）的条件下，若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2分钟的概率.18.（本小题满分14分）如图，菱形的边长为4，.将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，.（1）
6、求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求二面角的余弦值.19.(本小题满分14分)已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）令，数列bn的前n项和为Tn，试比较Tn与的大小，并予以证明.20（本小题满分14分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，P为椭圆 上任意一点，且的最小值为.（1）求椭圆的方程；（2）动圆与椭圆相交于A、B、C、D四点，当为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积.21.(本小题满分14分)已知函数.（1）是否存在点，使得函数的图像上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数的图像上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（2）定义，其中，求；（3）在（2
7、）的条件下，令，若不等式对且恒成立，求实数的取值范围.2014届越秀区高三摸底考试数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8题，每小题5分，满分40分题号12345678答案BDCD ACBA二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分9.1 10. 11. 12. 13. 14. 15.三、解答题：本大题共6小题，满分80分16.（1）依题意得.由，解得.所以.因为函数的图像经过点，所以，即.因为，所以.所以.（2）由（1）得，所以，.因为，所以，.因为为ABC的三个内角，所以.17.（1）依题意得，解得，.（2）该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的
8、50位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为50的随机样本，将频率视为概率得，.所以的分布列为0.511.522.50.20.40.20.10.1的数学期望为.（3）记“该顾客结算前的等候时间不超过2分钟”为事件A，该顾客前面第位顾客的结算时间为，由于各顾客的结算相互独立，且的分布列都与的分布列相同，所以 为所求.18.（1）因为O为AC的中点，M为BC的中点，所以.因为平面ABD，平面ABD，所以平面.（2）因为在菱形ABCD中，所以在三棱锥中，.在菱形ABCD中，ABAD4，所以BD4.因为O为BD的中点，所以.因为O为AC的中点，M为BC的中点，所以.因为，所以，即.因为平面ABC
9、，平面ABC，所以平面ABC.因为平面DOM，所以平面平面.（3）作于，连结DE.由（2）知，平面ABC，所以AB.因为，所以平面ODE.因为平面ODE，所以.所以是二面角的平面角.在RtDOE中，所以.所以二面角的余弦值为.19.（1）当时，.又也适合上式，所以.（2）由（1）得，所以.因为，所以.由得，所以.因为，所以确定与的大小关系等价于比较与的大小.当时，；当时，；当时，；当时，；，可猜想当时，.证明如下：当时，.综上所述，当或时，；当时，.20.（1）因为P是椭圆上一点，所以.在中，由余弦定理得.因为，当且仅当时等号成立.因为，所以.因为的最小值为，所以，解得.又，所以.所以椭圆C的方程为.（2）设，则矩形ABCD的面积.因为，所以.所以.因为且，所以当时，取得最大值24.此时，.所以当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为.21.（1）假设存在点，使得函数的图像上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数的图像上，则函数图像的对称中心为.由，得，即对恒成立，所以解得所以存在点，使得函数的图像上任意一点关于点M对称的点也在函数的图像上.（2）由（1）得.令，则.因为，所以，由+得，所以.所以.（3）由（2）得，所以.因为当且时，.所以当且时，不等式恒成立.设，则.当时，在上单调递减；当时，在上单调递增.因为，所以，所以当且时，.由，得，解得.所以实数的取值范围是.
