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1、嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘 要本文利用倒推法、动力学模型、遗传算法和逐块取方差寻优等方法，对嫦娥三号软着陆轨道进行设计与控制，使得探测器可准确地在预定区域实现软着陆，且消耗的燃料较少。对于问题一，嫦娥三号进行黎曼变轨，着陆准备轨道为椭圆，故首先以月球与嫦娥三号为一系统，通过能量守恒定理和角动量守恒定理求得探测器在近月点速度为1.69km/s，在远月点的速度为1.61km/s，同时得到两点的速度方向都为运动的切线方向。然后通过倒推法，在主减速过程建立动力学模型，经过简化，利用Matlab求微分方程数值解，假设飞行器着陆轨道的经度基本不变，由极角的变化值和着陆点经纬度得到近月点的位置为（1
2、9.51W,61.39N,15km),同时可得远月点位置为（160.49E,61.39S，100km）。并且对问题二的求解进行优化，得到优化后的近月点位置为（19.51W,61.65N,15km)。对于问题二，首先考虑主要消耗燃料的主减速阶段，并将快速调整阶段与主减速阶段合并，同样建立动力学模型，以最少燃料消耗为目标通过遗传算法进行寻优，得到最优的燃料消耗为1.1224103kg，同时得到的终点的边值比问题一的解更好。然后考虑着陆安全因素的粗避障和细避障阶段，对于粗避障，通过逐块方差求解，得到以100m100m为单位的22012201个方差数据，其中最小的方差值为2.2334，在（2173:2
3、272,1398:1497）区域内；对于细避障，通过同样方法得到以5m5m为单位的951951个方差数据，最小数据2.2718在（254:303,519:568）区域内。对于问题三，关于误差分析，本文取问题二中通过优化得到的末状态的月心距与总速度的值，和问题中所给实际的月心距和总速度，计算得绝对误差和相对误差，月心距的相对误差为0.07%，速度的相对误差为0.42%。结果显示优化得到的末状态的值误差较小，具有可信度。对于敏感性分析，我们主要取刻画着陆轨道的月心距的参数t，vr，计算当他们有所变化时对月心距结果的影响，得到敏感度Sr,t=1.7310-5，即当t增长1%时，r增长1.7310-5
4、%，结果不敏感，同理得到S(r, )=1.7510-5，Sr,V =-1.02103，说明着陆轨道的变化对参数的变化不敏感。关键词 软着陆轨道设计 倒推法 动力学模型 遗传算法 误差与敏感度分析一、问题重述“嫦娥三号”探测器于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。已知“嫦娥三号”在着陆准备轨道上的运行质量、主减速发动机可产生的推力以及比冲等条件，且嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m。进行合理的陆轨道与控制策略的设计，可以保证探测器准确地在月球预定区域内实现软着陆。其着陆轨道设计的基本要求为：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100k
5、m的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。现需解决以下问题：（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。（3）对设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。二、模型假设1、月球自转可以忽略不计；2、月球扁率摄动、大气阻力摄动、光压摄动等因素对探测器运动情况的影响可忽略；3、探测器在运动过程中只有燃料燃烧会引起其质量的变化。三、符号说明符号符号说明vA、vB探测器在近月点、远月点运动的速度EA，EB探测
6、器在近月点、远月点的动能Gm月球的万有引力常量vr、v探测器运动的法向速度，切向速度Ft探测器主发动机提供的推力r着陆月心距v主减速发动机的比冲M、m月球、探测器的质量极角，即飞行器与月心连线的变化角 四、模型的建立与求解4.1 问题一4.1.1 问题分析探测器进入环月轨道后即在以月球为焦点、近月点远月点间的距离为长轴的椭圆上运动，将探测器和月球视为一个系统，该系统内能量守恒且角动量守恒。利用椭圆长短轴的几何关系联立方程组可求出其在近月点和远月点的速度。近月点和远月点的位置相互制约，近月点又受到着陆点的约束，利用反推法求近月点位置。为刻画探测器的运动状态，需了解探测器在整个着陆的过程中的受力情
7、况，对探测器运动过程中的某一时刻进行受力分析，并以燃料最少为约束条件确定近月点的位置，从而确定远月点的位置。4.1.2 速度大小的确定根据霍曼转移可知，探测器绕月运行的轨迹为椭圆，如下图所示，图1 探测器绕月运动轨迹示意图设探测器在近月点、远月点的速度分别为vA、vB，动能分别为为EA，EB，月球质量为M，探测器质量为m，月球的万有引力常量为Gm。将探测器和月球视为一个系统，利用系统内能量守恒，可得：， （1.1）由公式（1.1）得：， 即。 （1.2）由于系统所受和外力矩为0，故可由角动量守恒得： ， （1.3）再由探测器轨道为椭圆可知，故可得：。 （1.4）将月球的万有引力常量Gm等已知量
8、带入公式（1.5）求得近月点速度vA为1.69km/s，在远月点的速度vB为1.61km/s，探测器在远月点和近月点处的速度方向均沿该时刻探测器运动方向的切线方向。4.1.3倒推法求位置由于着陆点位置已知，而近月点在月心坐标系的位置和软着陆轨道形态共同决定了着陆点的位置。我们通过主减速阶段的分析可得到极角随时间的变化，然后得到近月点的位置。（1）动力学模型建立“嫦娥三号”在从近月点运动至着陆点这一过程所需时间很短，因此可忽略月球的自转以及月球引力摄动、月球扁率摄动等因素对探测器着陆的影响。将探测器降落过程近似为在同一个平面内的飞行过程，建立自然坐标系描述探测器的软着陆飞行过程。探测器的主发动机
9、提供推力调节探测器的速度，推力矢量与探测器横向速度的夹角可以近似看做180。则探测器在整个着陆的过程中受力分析如图所示：图2 探测器着陆过程受力分析示意图其中，r为月心距，vr为径向速度，v为横向速度，Ft为探测器的主发动机提供的推力，为探测器推力矢量与横向速度的夹角。由图2对探测器着陆过程的受力分析，得到探测器运动过程状态方程： （1.5）其中，m为探测器质量，为比冲。 设初始状态为近月点，末状态为距月球2400米处（即快速调整后的状态），且初始时刻为，末状态时刻为，处于边界时刻的变量满足下列关系：时刻： ， （1.6） 时刻：， （1.7）其中，r0为近月点出的月心距，r1为月球半径，m0
10、为着陆器动力下降前初始质量。（2）模型的求解要解该微分方程，需要解决和两个变量的问题，首先对模型进行化简，根据文献1，令始终与方向相反，即等于常数180，则公式（1.5）可化为 （1.8）而要达到燃料消耗最少的目标，就要求最后的最大，即易知，当取小值时，最终的质量最大，即消耗的燃料最少，令，通过龙格库塔法可解出该微分方程的数值解。得到结果如下： 图3 微分方程解值结果从上图可以看出，月心距、法向速度、切向速度、质量随时间不断减小，极角随时间变化不断增大，其极角变化为。由查询得到的资料可知，嫦娥三号飞行轨迹基本沿经线，即经度基本不变。已知极角变化和着陆点位置经纬度（19.51W，44.12N）。
11、用=44.13N表示着陆点的纬度，用表示探测器近月点的纬度。则有：=+由此求得近月点位置为（19.51W,61.39N,15km)、远月点位置为（160.49E,61.39S，100km）。4.2 问题二4.2.1 问题分析探测器软着陆六个阶段中个别过程时间较短，为简化模型，故考虑将多个阶段合为一个阶段制定控制策略。在主减速阶段，由于问题一中得到的月心距与法向速度和终点的边值有一定误差，因此需对动力学模型进行优化。在避障阶段，由于探测器需要避开的不利地形高低起伏较大，故可用该区域各点高度的方差来反应该区域是否适合探测器着陆。在粗避障阶段和精避障阶段，皆用matlab读取数字高程图获得该避障区域
12、内某些点的高度，并根据像素和目标区域大小对该区域进行分区，计算各区高度的方差，选取最小的区域作为目标区域。4.2.2 不同阶段的优化控制策略4.2.2.1 主减速阶段对不同阶段进行分析可知，快速调整阶段时间较短，基本位于目标上方，水平方移动较少且最终水平速度变为0m/s，故可看做主减速阶段的一部分。问题一中，我们建立了主减速阶段的动力学模型，并对公式（1.5）进行简化处理，将设定为常数180，但是得到的月心距与法向速度和终点的边值有一定误差，故我们设定为变量，F为定值，通过遗传算法以最大终点质量为目标进行优化。（1）控制策略优化模型首先，为了防止状态变量的量级相差较大, 在轨道积分的过程中会导
13、致有效位数的损失，故我们根据文献1对公式（1.5）进行归一化处理，并采用参数化方法，根据文献2，假设， （2.1）控制策略模型可由一个有约束的优化问题描述, 所需优化的参量包括公式（1.6）描述的4个飞行个状态变量在末端时刻的值和式公式（2.1）中用于描述飞行器推力方向角的 4 个参量 ai( i= 1, , 4) , 这些参量应该满足以下8 个约束条件:公式（1.6）、（1.7）描述的飞行器在初始时刻和末端时刻的 8 个等式约束。优化目标为飞行器燃料消耗达到极小值。（2）遗传算法的求解首先，我们对每个优化参量进行编码，随机产生N个个体，然后以根据文献2适应度函数 （2.2）（其中1与2为惩罚
14、因子，在文献中可查到）计算每个个体的适应度并进行轮盘法选择，再经过交叉和变异得到新的个体并进行判定。我们设定20个个体，交叉概率为0.6，变异概率为0.05，迭代5000次，通过遗传算法工具箱得到结果如图所示：图4 遗传算法所得结果由图可得月心距随时间的变化图为着陆轨道图。且可以得到月心距、切向速度、质量、推力与速度方向随时间变化不断降低，极角随时间变化增大，后趋于稳定，法向速度随时间先降低后升高。并且从图中末状态的值可以看出，月心距略低于1740km，切向速度基本为0，法向速度也比较小，其与真实的末状态比较接近。具体末状态数值如下表所示：表1 末状态数值表软着陆参数末状态数值飞行器质量mkg1.1224103着陆月心距rm1.7388106极角rad0.3044着陆径向速度vr（ms）26.1787着陆切向速度v（ms）0.0509103而优化过的极角为=0.3044rad=17.44，由此可得第一问优化后的近月点位置为（19.51W,61.65N,15km),同时可得远月点位置为（160.49E,61.65S，100km）。嫦娥三号从初始点下落时质量为2.4t，而末状态
