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1、第5讲 二次函数轨迹问题本讲内容本讲目标：明确本讲的知识点及考法，了解考试频率，并通过对应例题对该讲知识进行掌握教学目标：23记忆教学模式2个知识点1.抛物线特殊点的轨迹问题2.焦点与准线3个考点模块考点对应例题抛物线特殊点的轨迹问题1.抛物线顶点轨迹例12.中点的轨迹问题例2焦点与准线3.焦点与准线例3、例4、例5、例6模块一 抛物线特殊点轨迹问题题型一 抛物线顶点的轨迹例1.（1）已知抛物线y4ax4a1，当实数a变化时，抛物线的顶点D都在某条直线l上，求直线l的解析式.解：y4ax4a1a1，D(2a，a1).抛物线的顶点D都在某条直线l上，直线l的解析式为：yx1.（2）已知抛物线：y
2、2ax2xa1，当实数a变化时，抛物线的顶点D都在某条抛物线上，求抛物线的解析式.解：y2ax2xa1a1，D(a1，a1).抛物线的顶点D都在某条抛物线上，抛物线的解析式为：yx2.练习（1）已知抛物线y2ax的顶点为P，当a变化时，点P总在直线l上.求直线l的解析式；解：y2ax4a4，P(a，4a4).当a变化时，点P总在直线l上，直线l的解析式为：y4x4.（2）已知，直线：yx，抛物线：ya6ax7a的顶点A在直线上.求抛物线的解析式.解：ya6ax7aa2a，A(3，2a).点A在直线上，2a(3)，a1，抛物线的解析式为y6x7.题型二 中点的轨迹问题例2.如图，已知直线AB：y
3、kx2k4与抛物线：y交于A、B两点.（1）直线AB总经过一个定点C，请求出点C坐标；（2）若k2，点D在直线AB上，过点D作y轴的平行线交抛物线于点E，P是线段DE的中点，设点D在直线AB上运动时，P的运动轨迹为抛物线，求抛物线的解析式.解：（1）ykx2k4k(x2)4,令x20，则x2，y4，C(2,4).（2）当k2，y2x，设D(m，2m)，则E(m，)，P(m，m)，yx.练习（1）如图，抛物线y2x3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P在直线BC上，过点P作PQy轴交抛物线于点Q，G是线段PQ的中点，求点G的轨迹的解析式.解：易知B(3，0)，C(0，3)，可求BC解析式为
4、yx3.设P(m，m3)，则Q(m，2m3)，G(m，m3)，yx3.（2）如图，N为抛物线：y8上一动点，点M（2，0）在x轴上，Q为线段MN的中点，设点N在抛物线上运动时，Q的运动轨迹为抛物线，求抛物线的解析式.解：设N(m，8)，则M(2，0),Q(1，4)，：y24x2.模块二 焦点与准线知识导航抛物线的定义：平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线.例3 （1）如图，抛物线y的焦点F（0，），准线l的解析式为y，求证：抛物线y上任意一点P到点F的距离等于它到直线l的距离，即PFPH.解：设P(x，)，则，PFPH.（2）已知点
5、M(2，3），F（0，），点P（m，n）为抛物线y上一动点，则用含m的式子表示PF；PFPM的最小值是.设P(m，)，则，PF.练习将抛物线先向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图1，y轴上是否存在定点F，使得抛物线上任意一点P到x轴的距离与PF的长总相等？若存在，求出点F的坐标； (3)如图2，D为抛物线的顶点，P为抛物线上任意一点，过点P作PH x轴于点H，连接DP，求PHPD的最小值及此时点P的坐标 图1 图2【解】 (1) 抛物线的解析式；(2)点F的坐标（0,2）.作PHx轴于H,设得抛物线上点P（x，），则. 即PFPH. (3)
6、由(2)PHPF,PHPDPFPD, 当F,P,D在一直线上的,PFPD值最小, 即PHPD最小.此时F(0,2),D(4,3),最小值为PF, 又直线DF为， 由， 得， 点P(,).例4.如图1,P(m,n)是抛物线上任意一点,l是过点(0,2)且与x轴平行的直线，过点P作直线PHl于点H(1)填空：m0时，OP_，PH_；当m4,OP_，PH_.(2)对任意点P,猜想OP与PH的大小关系,并证明你的猜想；(3)如图2,若A、B是抛物线上的两个动点且AB6,求A、B 两点到直线l的距离之和的最小值. 图1 图2【解】(1)OP1,PH1； OP5, PH5.(2)OPPH.设点P（x，），
7、则. 即OPPH.(3) 分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为C、D，连接OA，OB.由(2)知OBBD，OAAC.当AB不过O点时，在AOB中，OBOAAB，BDACAB6当AB过O点时，OBOAAB，BDACAB6综上所述 BDAC6，即A，B两点到直线l的距离之和的最小值为6练习如图1，在以O为原点的平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0，1)，连接AC，AO2CO，直线，过点G(0，t)且平行于x轴，(1)求抛物线方程；(2)若D(4，m)为抛物线上一定点，点D到直线l的距离记为d，当dDO时，求t的值；若D为抛物线上一动点，点D到中的直线l的距离与OD的
8、长是否恒相等，说明理由；(3)如图2，若E、F为上述抛物线上的两个动点，且EF8，线段EF的中点为M，求点M纵坐标的最小值 图1 图2【解】(1) ；AO2CO，C(0,1),A(2,0), 代入得抛物线方程.(2) 把D(4，m) 代入抛物线方程,得m3, D(4,3), DO5.d5, t2.(3) 分别过点E、F作直线l的垂线，垂足分别为N、K，连接OE，OF.由(2)知ENEO，FKFO.当EF不过O点时，在EOF中，OEOFEF，ENFKEF8当AB过O点时，OEOFEF，ENFKOEOFEF8ENFK8. 又MH(ENFK)4, MH的最小值为4即点M纵坐标的最小值为2例5如图，抛
9、物线yx2与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），点P是抛物线上一动点（不包括A、B），PMx轴于点M，点P的横坐标为t（1）若1t1，求证：OPPM为定值，并求出该值（2）若t1或t1，求证：OPPM为定值，并求出该值证明：（1）P（t，t2），OPt2，PMt2， OPPMt2 （2）P（t，t2），OPt2，PMt2， OPPM1例6.如图，过点F（0，1）的直线ykxb与抛物线yx2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x10，x20）（1）求x1x2的值（2）分别过M，N作直线l：y1的垂线，垂足分别是M1，N1，连接FM1，FN1，判断M1FN1的形状，并证明你的结论解：（
10、1）直线ykxb过点F（0，1），b1；直线ykx1与抛物线yx2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点，可以得出：kx1x2，整理得：x2kx10，a，c1，x1x24， （2）M1FN1是直角三角形（F点是直角顶点）理由如下：FM12FF12M1F12x124，FN12FF12F1N12x224，M1N12（x2x1）2x12x222x1x2x12x228，FM12FN12M1N12，M1FN1是以F点为直角顶点的直角三角形课后作业 二次函数轨迹问题习1（1）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：yax24a4（a0）经过第一象限内的定点P直接写出点P的坐标；若a1，点M坐标为（2，0
11、）是x轴上的点，N为抛物线C1上的点，Q为线段MN的中点设点N在抛物线C1上运动时，Q的运动轨迹为抛物线C2，求抛物线C2的解析式解：yax24a4a（x24）4，该函数图象过第一象限内的定点P，x240，解得 x2或x2（舍去），则y4，点P的坐标是（2，4）； 设点Q的坐标为（xQ，yQ），点N的坐标为（xN，yN）M（2，0）由点Q是线段MN的中点，可以求得，xN2xQ2，yN2yQa1，抛物线C1的解析式为yx28点N在抛物线C1上，yNxN282yQ（2xQ2）28，即yQ2xQ24xQ2，抛物线C2的解析式为：y2x24x2习2（2）如图1，直线ykxk2（k0）与抛物线yax2有唯一的公共点求抛物线的解析式；已知点A（0，1），直线l：y1，如图2，P是抛物线上一个动点，PBl于B点，连PA、PB，求证：AB平分OAP解：，ax2kxk20，k24ak20，a，yx2证明：设P（t，t2），PAt21，PBt2（1）t21，PAPB，PABPBA，PBl，PBy轴，PBAOAB，PABPAB，AB平分OAP
