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1、 第三部分：代数系统1.在代数系统中，若一个元素的逆元是唯一的，其运算必定可结合。( )2.每一个有限整环一定是域，反之也对。( )3.任何循环群必定是阿贝尔群，反之亦真。( )4.设是布尔代数，则一定为有补分配格。( )5.设Q为有理数集，Q上运算定义为，则 是半群。( )6.阶数为偶数的有限群中，周期为2的元素的个数一定为偶数。( )7.群中可以有零元（对阶数大于一的群）。( )8.循环群一定是阿贝尔群。( )9.每一个链都是分配格。( )1. 对自然数集合N，哪种运算不是可结合的，运算定义为任 ( ) A. B. C. D. 2. 任意具有多个等幂元的半群，它 ( ) A. 不能构成群
2、B. 不一定能构成群 C. 不能构成交换群 D. 能构成交换群 3. 循环群的生成元为，它们的周期为 ( ) A. 5 B. 6 C. 3 D. 94. 设是环，则下列正确的是 ( ) A. 是交换群B. 是加法群C. 对*是可分配的 D. *对是可分配的5. 下面集合哪个关于减法运算是封闭的 ( )A. N B. C. D. |是质数6. 具有如下定义的代数系统，哪个不构成群 ( )A. G=1,10，是模11乘 B. G=1,3,4,5,9，是模11乘C. GQ(有理数集)，是普通加法 D. GQ(有理数集)，是普通乘法7. 设G，为普通乘法则代数系统的么元为 ( )A.不存在 B. e
3、C. e23 D. e8. 任意具有多个等幂元的半群，它( A ) A. 不能构成群 B. 不一定能构成群C. 必能构成群 D. 能构成交换群 9. 在自然数集N上，下面哪个运算是可结合的，对任意 ( )A. B. C. D. 10. 为有理数集，上定义运算为，则的幺元为( ) A. a B. b C. 1 D. 011. 下面哪一种运算不是实数集R上的二元运算？ （ ）A.数的加 B.数的减C. 数的乘 (D) 数的除12. 是群，则对 ( ) A. 满足结合律、交换律 B. 有单位元，可结合 C. 有单位元，可交换 D. 每元有逆元，有零元13. 实数集R的下列运算，哪个满足结合律？ (
4、)A. B. C. D. 14. 下面哪一种运算不是实数集R上的二元运算？ ( )(A) 数的加 (B) 数的减(C) 数的乘 (D) 数的除15. 在代数系统中，整环和域的关系为 ( )A. 整环一定是域 B. 域下一定是整环C. 域一定是整环 D. 域一定不是整环16. 具有如下定义的代数系统，哪个不构成群 ( )A. ，是模11乘B. ， 同(1) C. (有理数集)，是普通加法D. ，是普通乘法17. Q为有理数集， (其中为普通乘法)不能构成 ( )A. 群 B. 独异点 C. 半群 D. 交换半群18.下述*运算为实数集上的运算，其中可交换且可结合的运算是 ( )（A）a*b=a+
5、2b （B）a*b=a+b-ab（C）a*b=a（D）a*b=|a+b|19. 设I是整数集，分别是普通加法和乘法，则是 ( ) A. 域 B. 整环和域 C. 整环 D. 含零因子环20. R为实数集，运算定义为：，则代数系统是 ( ) A. 半群 B. 独异点 C. 群 D. 阿贝尔群21. 对自然数集合N，哪种运算不是可结合的 ( ) A. B. C. D. 22.为有理数集，Q上定义运算为：，则的么元是( ) A. a B. b C. 1 D. 023. 设，是群的子群，下面哪个代数系统仍是的子群( ) A. B. C. D. 24. 群与 ( ) A. 同态 B. 同构 C. 后者是
6、的前者的子群 D. (2)与(3)都正确25. 在自然数集N上，下面哪种运算是可结合的 ( )A. B. C. D. 26. 循环群的所有生成元为 ( ) A. 1,0 B. -1,2 C. 1，2 D. 1，-127. 任何一个有限群在同构的意义下可以看作是 ( )A. 循环群 B. 置换群 C. 变换群 D. 阿贝尔群28. 下列集合关于指定的运算哪一个可以构成群？ （ ）(A) 给定0且，集合关于数的乘法。(B) 非负整数集N，关于数的加法。(C) 整数集Z，关于数的减法。(D) 一元实系数多项式集合，关于多项式乘法。1. 在环中进行计算，则（a+b）（a-b） 2. 是一非空集合, 是
7、的幂集, 代数系统中的幺元为 3. 设群G是15阶循环群，则子群H的元素是4. 在A=1,2,.,10与运算11( 模11乘)构成的群中，元素5的阶是 5. 在代数系统中， (其中N为自然数集，+为普通加法)，仅有 有逆元6. 给定环，其中I是整数集，和是普通的加法和乘法， 它 整环因为 7. 设代数系统，其中为模6乘法，那么V中的幂等元是 8. 是独异点对，且均有逆元，则= ，9. 设S是非空有限集，为S的幂集，代数系统中，对 的么元为 ，零元为 10. 是群，且是有限集，是的子群当且仅当 11. 设S为非空有限集，代数系统中么元为 ，零元为 12.在A=1,2,.,10与运算11( 模11
8、乘)构成的群中，元素5的阶是 13. 设S是非空有限集，为S的幂集，代数系统中， 对的么元为 ，零元为 14. 三阶群有个(不同构)，其运算表为 15.半群是独异点，因为 有幺元A1. 设 ，且，=e，证明G必含4阶子群2. 己知G1,2,3,4,5,6，为模7乘法试说明是否构成群?是否为循环群？若是，生成元是什么？3. 在乘法模7运算下，考虑群，其中, （1）求出的乘法表， （2）求， （3）是循环群吗？4. 试证明若是群，且任意的，对每一个，有，则是的子群5. 设 (R为实数集)，(1)说明是否构成群； (2)在S中解方程6. 若G中只有一个2阶元，则这个2阶元一定与G中所有元素可交换7. 设代数系统的运算表如表所列， 表abcdaabcdbbcbdccabcddacc (1) 说明运算是否满足交换律、结合律、幂等律;(2) 求出运算的单位元和零元(如果存在)；(3) 求出所有可逆元素的逆元8设G=且，定义，证明：是一个群。9. 设和都是群子群，问和是否是 的子群，并说明理由10. 设是模2加群(1) 给出直积运算表；(2) 说明与哪个4阶群同构11. 试画出集合A1，2，3，4，5，6在偏序关系“整除”下的哈斯图，并分别求出： (1)集合A的最大元、最小元、极大元和极小元； (2)集合B2，3，6的上界、下界、最小上界、最大下界 1
