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1、 极限计算练习课堂测验的题解及其他各位同学：11月23日下午进行了高等数学（上册）的第2次课堂练习，从教学计划来说，这是例行的测验，从学习的角度看，也是对大家大半个学期来学习情况的一次检验。测验的结果很不理想，出乎我的预料。看来有相当数量的同学，还没有进入大学学习的轨道，没有化起码的功夫。当然，学习好的同学也不少，我教的两个班上，有近30-40位同学的成绩一直稳定在90分上下，可见他们已经具有的数学基础很不错。我很欣赏他们。希望他们走向成功的明天。我这么说其实还包含了一层意思：学数学是没有底的，不要满足于目前高等数学的层面，因为这门课毕竟只是对一般的理工科学生开设的，要求并不高，不要满足于能做
2、几个题。不知这些同学有没有理解我的苦心。另外，我一直不认为分数是衡量数学好坏的绝对标准，即使那些考了90分的同学，只表明你做这几个“死”题做的不错，不等于能应用数学解决实际问题，活的数学题你们还没有接触到。所以，每个人都要保持“在科学面前要有敬畏之心，谦卑之心”。那些老是不及格，或在4060分上下浮动的同学，要提高警惕，不要在大一上学期就被拉下，这样被动下去，你的大学生涯恐怕是不会乐观的，你的心里也许会有变化。你的这个大学上得没有意思了。同学们的队伍由此拉开了距离就像长跑一样，拉开了距离，一般是很难追上的。为此，我这里对其中若干题目进行分析，提供几种思路，供大家思考和回味，特别对不会做的同学，
3、你还是要努力学懂啊！不要放弃！放弃了，没有可能再抓回了，第二年重修的人，很少能够通过，这是历史的教训。我再次强调，解数学题没有定规，解题的角度不是固定不变的，我这里的解法未必覆盖全部，只是提供一种思考的角度，大家没有必要照抄照搬，也没有必要用一种解法去否定另一种解法。对大家而言，能从不同的角度来分析和求解，是一种最好的学习方式。第1大题的6个小题，比较简单，这次没有要求大家去做，但对有些同学来讲，等助教把试题本发下后，也请独立做一遍。下面我从第2大题开始。2. 判别下列极限是否存在，若存在，请计算器极限值。（1）； 。【分析】本题给出的2个函数，在点处没有定义！却要我们求极限，你能理解吗？这里
4、我要特别强调，求函数值时，必须要有定义，但求极限却不必要求有定义，理由是极限过程是，即趋向于0，永远不等于0。那么，要判别极限是否存在的充要条件是什么呢？是的左、右极限都存在，并且相等。不知大家对左、右极限的理解如何? 所谓的右极限是指变量从0的右边趋向于0，在这个过程中变量始终是正的；而的左极限是指变量从0的左边趋向于0，在这个过程中变量始终是负的。有了这些概念，求解这些题目应该是没有什么原则困难的。当然结合具体函数，我们还要解决一些难点。（1）这个函数的极限问题的难点在于处理好和在的左、右极限。首先右极限 ，其中 第1个极限 ， 第2个极限 ， （因为） 所以在的右极限等于 。再考虑左极限
5、，其中 第1个极限 ， 第2个极限 ，所以在的左极限等于 。虽然在时的左、右极限都存在，但不相等，则在时的极限不存在。（2）本小题的函数是一个分段函数，在在点处没有定义，在的两边的函数是不同的。不难计算得到 ， ，可见在时的左、右极限都存在，而且相等，则在时的极限存在，且等于 。3. 计算下列极限（1）【分析】这是一个的未定型极限，要做适当的处理。解法1： 先将根号中的开出来，然后利用等价无穷小公式 值无穷小量）： 。 （因为在时为无穷小）解法2： 令， 原式。这个解法称为“倒数法”，以后在学积分时还会看到它的作用。解法3：对上式中型极限 采用Lhospital法则，但计算比上面采用等价无穷小
6、麻烦。大家可一试。不要因为计算麻烦就否定它，那是中学思维。（2） 【分析】 这是一个型极限。当然可以一开始就用Lhospital法则，但未必计算容易。解法一：用等价无穷小代换： 时，有等价无穷小：，这样原式等于 。这样就得出了结果，很简洁。这里没有减法，可以放心地去做。解法二：如果你能看出分子中的第2项等价于，等价于，它等于，所以分子可等价于+； 同理，分母中的第二项，故分母等价于。这样，最中结果等于3。解法三：用Taylor 公式也是一条路，留给大家。一般而言，总是能化简的线化简，在用其他“重”武器。等价无穷小代换，是一种不可缺少的基本功。（3） 解法一：这是数列的极限，属于型。数列的极限无
7、法直接使用Lhospital法则或Taylor公式等“武器”，但数列也有无穷小序列的概念，要充分利用。 本题的难点在于化简，提出，使得出现，其次，要把化为以为底的指数，这些都可以认为是最基本的极限方法。 （利用。 最后第2个等号是因为等价无穷小 。解法二： 先研究函数在的极限，然后用到上去。 其实，解一已经很简洁，一般不用这么转来转去。但有的情况下，这样思路也有价值。（4）【分析】这是一个型极限，它总与有关。（这一点，请各位千万别忘记！）解法一： 引入变量代换，令，那么改为， ，又 。故 原式。解法二：型极限问题也可以改写为 的形式。由解法一， ，又 故得 原式。（5） 本题用等价无穷小做十分
8、容易，留给大家吧。（6）本题是一个无穷多个无穷小之和的极限，一个适用于两面夹准则的典型题目。留给大家。4. 计算极限 解：记 。由于 时， ； 当时， ，所以我们有 ； 故 原式。 由于在和时有不同的形式，所以要考虑其左、右极限。，这样，的左、右极限都存在，且两者相等，故原式。注：本题的第一步，也是关键的一步是求出的具体形式，这一步本质上是求极限。5. 当时，试对下列无穷小，确定的值，使：（1） ; （2）。解（1）对于，首先要确定谁是这个无穷小的主部？是还是其他？对 作Maclaulin展开：因此，当时，故 。解（2）【分析】首先需要把展开成多项式的形式，然后利用对数函数的展开式。这样的展开
9、可用Taylor公式。，所以 ；注意到在时 ，因此 。根据题意 ，故 ， 。6. 讨论函数的连续性，并对间断点进行讨论。【分析】函数连续性的判断，基本工具还是极限。解：函数为初等函数，故除了外（在这些点上函数没有定义），函数处处连续。 ： 因涉及到的极限的特殊性，需要考虑左、右极限。 整理： 因为 （） 。故是跳跃型间断点。和是可去间断点，这2点留给大家了。7. 设，确定的值，使得在内连续。解：在除外的所有点，是初等函数，故都是连续的。所以，只需确定的值，使在连续。具体地，就是根据在处连续的充要条件是其左、右极限存在且相等，并等于函数值。（请注意基本概念的正确性，概念清楚了，要做什么也就明确了
10、，不会做题的最大障碍其实是概念不清！） 在处的左极限为 ，（这是因为 ，又 ， 故 ） 在处的右极限为， （这是因为 ， 又 ，故 ） 根据题给条件，在处的函数值为 ，所以，根据在处连续的充要条件是“其左、右极限存在且相等，并等于函数值”，得到方程组 ，不难解出 。8. 确定的值，使下式成立：。【分析】 这是一个经常见到的题目。他们的要求很明确，求出的值，因此，我们必须建立3个方程，解了这样的方程，才能解除未知量。如何建立方程呢？只能从已知条件中寻找，别无出路。题目给你什么信息呢？看起来只有一个极限式，但这个式子告诉你的不止一个信息。第一， 当时， 是个无穷小量（所以极限为0）；第二， 当时，
11、 至少是二价无穷小，换言之，它本身就是无穷小；第三， 当时， 也是无穷小。这些条件都是理解了无穷小的概念后，才可能明确上述信息。充分利用这3个条件，就可以求出的值。这再次强调基本概念的重要性。有了这3个条件，理论上可以建立联立方程组，志是求解的可行之路。不过，解方程组（何妨又是非线性的方程组）不是最佳选择。如果能合理安排这3个条件的次序，使未知参数能一个一个的解出，那么可以避免求解方程组。那么如何安排次序呢？这要看问题的“结构”，充分利用极限的性质。（从这一点看，解题技巧还是有用的，这要靠“孰能生巧”。）由第二点，得 ，马上得到 。再由第三点，得 ，左边是一个型极限，可用洛必塔法则： ，这样，
12、 也就很容易地求出了。好了。现在只剩下一个未知量，可以用第一点条件：，同样用洛必塔法则，左边是 这时再次为型极限，再用洛必塔法则，得 ，故 。OK！事情就这样一步一步地解决了。不难吧，哥们姐们，不要被外表蒙蔽了，只要概念清晰，步骤得当，难题总是由一个个并不难的小题组成的。化解它们，脚下便是走向成功之路。这个题我之所以做得比较仔细，是它有代表性，请不会做的同学仔细体会。当然，思路有了，求极限的基本计算还是要会做的，否则只是空头理论家。9. 设，求。【分析】这是一个典型的求数列极限的题目。常用“数列单调有界准则”，来解决此类问题。当然有些数列不满足单调有界，也会存在极限。对这样的数列就需要其他方法
13、了。 先在草稿纸上试算一下，看看这个数列的变化趋势：，好，可想到它的极限是1.618033989。如果你熟悉著名的Fibonacci数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，你马上能猜想到本题的数列是由Fibonacci数列产生的，生成的规则是：将Fibonacci数列的每2项组成一组，把这个组的后一项去除前一项，组成的数学就是本题的，它的极限是1.618033989。 问题是怎么去证实这件事？从试算结果看，本题的数列是满足“单调有界的。所以本题属于常规题。有界性很好办，但单调性有些麻烦。解： ，易知，。 （因为）。故数列满足有界性（同时有上界和下界。再看单调性。数列的单调性
14、常用相邻两项之差或商来刻画。比如 此值若大于1，则数列单调。但从上面的式子还不好下结论。用常用相邻两项之差也会遇到些困难。下面我们用最常用也是最基本的方法：数学归纳法来证单调性。因为，故。又假设对任意正整数，有，由此来证明。方法是借助于函数的单调性。设。则其导函数 ，故函数单调递增。对于，得 。因为，故立即得 。这样就有归纳法证明了数列的单调性。我建议同学们还可以用递归方法来研究单调性，即建立 与，乃至之间的定量关系，也可以推得单调性的结论。总之，方法有很多，需要经常练习。解决了“单调有界”后，可以断定 存在。记。在迭代式两边取的极限，得 ，即得方程，解得 ，舍去负值，得 。10. 计算下列极限： （1） 解：本题显然是型极限。解题的思路是形成一些无穷小量，那么在求极限时自然就消为零了。 。（因为， ）注：本题自然
