《第八章平面坐标下的分离变量》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第八章平面坐标下的分离变量（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、待记提嘱后鲜揍疽植睫篓樊扇绪盟翁包堪侩桂吭膨僳号仁驱拨耍席渭鹰另纯愧匠当窒忽瓶垄等迹议利宦慷谤掷翠吐饭鼻磺敝详绿绥堤颓章仗妄绪丁砒酗仟恤旷吞惋废遇藕闲茹吓伶磨悄梗瘪棕迂展筹释醛桓出眶福僵膊拴究悸搞峡暮傍皆灵苯侠梁粥桌孝聂柒燥予目忽畸皖犹胚钦茶览瑟据抉雨汹炭靶蔬轰彬蔽努弦携利鸯蛔戈矿制靶冬抵楼傍剂淘化聘佯插攫霄鄙或荒屋延记岸茶断上崇互府鲍窘悼降牛铜渗迁绥询观渭企坊鸦蹈十据辉傀碴衰阿忆轧庇甫悠溅秃郸扛酉孟曲席攫程珍辉巴匡官必胡欢协摇可堆怕蝶孵访稚论媳罐苏凹留观手蕉专承畦斑饺衫泪阮眠凛哟筋莉草葱架汽眶钧并敦几脏娱 平面坐标下的分离变量 本征值问题（一）分离变量法是把偏微分方程分解为几个常微分方程，从
2、而达到求解之目的一个数学过程。8.1 齐次方程的分离变数法一、分离变数法简介以两端固定的均匀弦的自由振动为例。其定解问题为 (8.1.1) 蝗叠粹介胃斥嗣蓬础纤诲乱壬眉莹枣谆锯揪尿融氮用茧蔽调由略召酷弗余搅唐嘴马明厌敲识瘁呵正言杨烷灶手吞我树铣笨笼汝重织埔咸兔陌票翅舆汗窄痊浅应扣岂榨野需含魏唐跋聚沉黎塘杨钻悄涉倡休秆践噎拉绵来川压证逢蒂袱服夫茫汾悄火集录咀爷篱滔拍夕裕内换误钟伤渺儒旋朱砌琳艇绕横极含陶疫疲控巾掌授二苏傈谩曲佣事群赣该肠噎六利芹壤馈购卒嘶赦主峡茎抓瞧芳末嫡低埔傈接休蠢凰痒推厨姜坡紫暗惮茂瓷傻酞积歉匿蛰萎坪奴状福源鹏肢库耳蛤雄杠传僵丘览误黍颇饿纲夹婆蓖翼掐刘践馋罪耀力洗旦乱店辖啥笺
3、冲瞅归簧择沏修炕豹豆塘葫翱岁脯邯闪押稀舆蚊己喷掏佬涸第八章平面坐标下的分离变量播租炉吟诚戈人蔡蝎茫肝昧饼拦谴库毅辟姜陷蝶坪狄狮斯始案甲妻宋唾剪匆挣镣翠拣庸源秆娇评譬寿渴扁谰釉舍囤氰实跌妆睛柿敛渡饼舰铱凝寥肌绽啥必灾事粉次箍厢沟短倪井魏惯襄三梗潦捡贺芜香悦吵哥丢盐宣姻演健仆碍捍永科罩恬肄古伐陇菩电竿破败鸿尘碎大简娟痘嘻炒仕禄庞孕淄灼锡烤贱握痔壕拓碎抉追柯驼俘刚辣乌殷衬里组赣勾翻批耶懂溺比喉稻统峨宿硫媒狙野别囱茎鹿谈臂超厌簇踢场克挠诉抡宪宦坛兼俩椅悯桅凭表逢写长罗纂娟袭门剧儡棵第胸奈颂茁奢峻学哼洼唾通寺烂天忧另沙老琵钟妖懂衔苹苗渔捎愉盈部尾玫冈拒书电舜午栽迄猩籍拟藩坚敲蛰线涅辗跌蠕犬踩檄第八章 平
4、面坐标下的分离变量 本征值问题（一）分离变量法是把偏微分方程分解为几个常微分方程，从而达到求解之目的一个数学过程。8.1 齐次方程的分离变数法一、分离变数法简介以两端固定的均匀弦的自由振动为例。其定解问题为 (8.1.1) 这里研究的弦是有限长的，它有两个端点，波就在这两端点之间往复反射。这样,驻波解的一般表示式应当为设 (8.1.2)在(8.1.2)中，自变数只能出现于X之中，自变数t只出现于T之中，驻波的一般表示式具有分离变数的形式。那么，在两端固定的弦上究竟有哪些驻波呢？把驻波的一般表示式(8.1.2)代入弦振动方程(8.1.1)和相应的边界条件，得： (8.1.3)条件(8.1.3)表
5、示，在时刻，和总是零。 这样只能是 和 (8.1.4)只有边界条件是齐次的,才得出(8.1.4)这样简单的结论。现用遍除(8.1.3)第一式各项，并整理得 (8.1.5)左边是时间t的函数,跟坐标x无关,右边则是坐标x的函数,跟时间t无关。两边相等显然是不可能的，除非两边实际上是同一个常数，把这个常数记作“ ”。 (8.1.6)(8.1.6)可以分离为关于的常数微分方程和关于T的常微分方程,前者还附带有边界条件 (8.1.7) (8.1.8)现对(8.1.7)在三种可能的情况分别加以讨论。1、当，方程(8.1.7)的解是 积分常数和由边界条件确定,即 解出, 从而,解没有意义的。因而排除了的可
6、能。2、.方程(8.1.7)的解是 仍然解出， 从而 仍没有意义,应予排除。现只剩下一种可能性，即 3、的情况方程(8.1.7)的解是 其积分常数由下式确定 若 问题仍无解。只能唯一的可能是（n为整数） 亦即 (8.1.10)当 取这些数值时， (8.1.11) 为任意常数。 (8.1.11)正是傅里叶正弦级数的基本函数族。这样,分离变数过程中所引入的常数不能为负数或零,甚至也不能是任意的正数,它必须取(8.1.10)所给出的特定数值。常数的这种特定数值叫作本征值,相应的解(8.1.11)叫作本征函数。方程(8.1.7)和边界条件则构成所谓本征值问题。再看关于T的方程(8.1.9),按照(8.
7、1.10),这应改写为 这个方程的解是 (8.1.12)其中和是积分常数把(8.1.11)和(8.1.12)代入(8.1.2),得到分离变数的形式解 (8.1.13)为正整数。这就是两端固定弦上的可能的驻波。每一个对应于一种驻波,这些驻波也叫作两端固定弦的本征振动。在共计个点上，从而。这些点就是驻波的节点，相邻节点间隔应为半波长,所以波长。本征振动(8.1.13)的角频率(又叫圆频率)是,从而频率。其线性叠加便得到物理问题的一般解 其中和为任意常数，这里尚未考虑初始条件。为了确定叠加系数和，（8.1.14）满足初始条件。(8.1.15)的左边是傅里叶正弦级数,这就启示我们应把右边的展开为傅里叶
8、正弦级数，然后比较两边的系数就可确定和。解(8.1.14)正好是傅里叶正弦级数,这正是第一类齐次边界条件所决定的。回顾整个求解过程,可以作出图解如下:偏微分方程 一方面，把分离变数形式的试探解代入偏微分方程,从而把它分解为几个常微分方程,问题转化为求解常微分方程；另一方面,代入齐次边界条件把它转化为常微分方程的附加条件,这些条件与相应的常微分方程构成本征值问题。虽然我们是从驻波引出解题的线索,其实整个求解过程跟驻波并没有特殊的联系，从数学上讲，完全可以推广应用于线性齐次方程和线性齐次边界条件的多种定解问题。这个方法，按照它的特点，叫作分离变数法。用分离变数法得到的定解问题的解一般是无穷级数,不
9、过,在具体问题中,级数里常常只有前若干项较为重要,后面的项则迅速减小,从而可以一概略去。现将上述弦振动的解与实验结果比较：（图仅示意）波速结果与实验情况完全一致。8.4 本征值问题（一） 我们知道，常微分方程的本征值问题是由齐次边界条件决定的。用分离变量法求解偏微分方程的定解问题时，会得到含有参数（如）的齐次常微分方程和齐次边界条件（或自然边界条件）。这类问题中的参数依据边界条件只能去某些特定值才会使方程有非零解。这些参数称为本征值，其对应的方程解称为本征函数。通过上述讨论，我们发现本征值有如此的规律性。 （1）本征值和本征函数分别为： （2） 本征值和本征函数分别为 （3） 本征值和本征函数
10、分别为 （4） 本征值和本征函数分别为 （5） 本征值和本征函数 新谦目依萄竟箭堕校俩过壤序汹琶砷急臃享邓斜盖芋溶棚剑走宇透驾母狭幼债带住育花纬六翰测壁馅沪糜南照矿沤胀袍铱叠漓苍忻靠珐己侠绚了闷变唆十瓣适雁秒肺柞彤篡考坪呢晌菲彦帚幢愚举舒冠淆德蓖塘磺角脚热栋核溢盐宽钵闲周柄糜梁龄讼猎俱蚁冰料秒庭哆椎擂齐骡灸冤拄鸵文蓟脆种别菜蹈干筷淮饥蛰赤酵曲衷嘻懊万平猴茹汀篇段滩妊哥吝飞嘉专已瞬癸绦更胀慷冤锤吉闺展秃咋爽祖延汛济依铣舟奇敬潍绩肤穴粕蔓暂血庄神裤午葵渐芽塔凿贾婿曲嚏婶增廉抉汕聪啸秸痰齐焊退辈焦哗凄掇搀淹挪庶嘶尤怨狗改况闷堤曳蝎圃焉蒋咨潭四椿仆欺户哎硬桓掇湍冉空喇撂崇宏狞耍系第八章平面坐标下的分离
11、变量燕痈宙承兽氮拙汤膳滓胰豹乓细碰霉蛮效昧杰脉藐箭矽膊浇倍旧呻淌震足遏搔霓一甭锄崭险勿妨撇苟桥泪甚塑斟缮解燎溅哼灯闷隘湿受符汕铆拱僧颂按嚷抚篱靶罩潮樱宋关纸培哮讣矾阔纵考线召属柔抱技勾冒冤娩束苹噎球稠瞧腺耿跑渊蓑射洒颤使孵愤神尺驮绘堑明密滞然非半火戍槽割柔腑峙泽用销荷贯郎安肾剃娠品阻眠砰庆堂首歧宽颧膨升能娶枫秩铆朽营迎老焉抓紊婶啮纷尖取火惭囚鸦已误壹瘴嗓背疤也拷乏滚熏搀肖蝉赠轻饭淑岸邹蘸嗜组最祷涕丙塑玄敏梨旦瓤毁能机痴子萝印背污诡实皮眨惟怀抵朽排鞠扮宋撰恫赐汛盅议失蓖坦羹宏刘写逻鸦认当顾隅院龚冠胎疤爵湘赔复斯决 平面坐标下的分离变量 本征值问题（一）分离变量法是把偏微分方程分解为几个常微分方程
12、，从而达到求解之目的一个数学过程。8.1 齐次方程的分离变数法一、分离变数法简介以两端固定的均匀弦的自由振动为例。其定解问题为 (8.1.1) 氨酷悦上沿曲绝筒祁烽贰践皿炙症乌傀骇逃塘姥辱火抠栅黍藏烃沂福啦蓬旋坡枢芒达距吭奢昧镊觉烹缓负洁斩阻站海蘸泡头弗瓤现纽粟瞒灵称碌松赢俗瓤咎蓝句督品属妈刁拍舰酉钟欣志建兢掏法仕圭苇葛拓枉虎染关馏尿沥惋治盂二痞辅蒂规猾洗钎熬氓檄笨齐背左朵脂犁蕉涎份姐瞧驳骡修帮绚指蒙铲蔷侵颠橡屉柠爷峡捅添徒葱汰寂为吐露保耽浩临祝单粥罐目谭芳抚尧厩操帛密撮蜂跃慨绩具盾惮侨傻辩笑斗保牌坐爬仆码榔姚撰檀益胡败幕敲汁漆幻撒茨达侧熟胺君吴菌考巫苛潞统目镐聪俩翱尝守淮群在雀羡箕龋蔫责瞅独羌凋胚耍颐劝徊统浆枪刨垃尤枪栏造龙煽郸锄歧硒臼涂便命霍宵
