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1、第1 章 矩阵习题1. 写出下列从变量 x,y 到变量 x1, y1 的线性变换的系数矩阵：f x = xf x = x cos 甲一 y sin 甲1 1 n ；1 1y = 0 y = x sin 申 + y cos 申2.（通路矩阵）a省两个城市a,a和b省三个城市b ,b ,b的交通联结情况如图所示，每条线上1 2 1 2 3的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况._。片叫。a b户2仙。311 11 123、3.设 A=1 1 -1， B =-1 - 2 4J 一1 1 丿求 3AB-2A 和 ATB.4. 计算2112(1)310a12(2) (
2、x, y, 1)ai2I b1a22b2b1b2x = 2 y + y1 135.已知两个线性变换s x =一2y + 3y +2y2 123x = 4 y + y + 5 y3 123y = -3z + z1 12s y = 2z + z ,写出它们的矩阵表示式,2 13y = - z + 3 z3 23并求从z1，z 2, z 3到x1，x 2,3的线性变换.6.设 f (x)=a xm+ a Xm-i+ a , A是n阶方阵01m定义 f (A)=aAm+ aAm-+ a E.01m当 f(X)=X2-5X+3，(2A =I- 3-1)3 时，求 f(A).3丿7. 举出反例说明下列命题
3、是错误的.若A2= 0,则人=O.若A2= A,则A= O或A= E.7.设方阵A满足A2-3A-2E=O,证明A及A-2E都可逆，并用A分别表示出它们的逆矩阵.8.用初等行变换把下列矩阵化成行最简形矩阵：r i-23-1 A =2-46-2厂12一 3 1丿r31-10-4-121-2、0B =12134厂143-30丿9.对下列初等变换，写出相应的初等方阵以及B和A之间的关系式.(10-12 (10-12、(1002、A =2312033-2033-2=B.1-121丿r - 2 r211-121丿c + c312).8.设A,B都是三阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，且|A|=2,|B|=1,
4、计算|-2A*B-i | .2 1 -1、9设A = 210，利用公式求A-i-1 -1 1 丿复习题二1设A,B都是n阶可逆矩阵，其伴随矩阵分别为A*、B*,证明：（AB）*=B*A*.42.设 A =00 002丿求 A-i.3已知 Ai，A,Bi，B2 都是 3x1 矩阵，设 A=（ 4丄2芒,）小=（九2遐），|A|=2, |B|=3,求 |A+2B| .4设A,B都是n阶方阵，试证:二 |E - AB|第 3 章 向量空间习题1设 ai=(1,-1,1)T, a2=(0,1,2)T, a3=(2,1,3)T，计算 3ai-2a2+a32. 设 a =(2,5,1,3)t, a=(10
5、,1,5,10)T, a=(4,1,-1,1)T，且 3(a - x)+2(a+x)=5(a+x)，求向量 x.3. 判别下列向量组的线性相关性：(1) a1= (-1 ,3,1)T, a2= (2,-6,-2)T, a3= (5,4,1)T Pi = (2,3,0)t, P2=(-1,4,0)t，P3=(0,0,2)t 4.设p =a , p =a+a ,卩=a+a+a，且向量组a , a , a线性无关，证明向量组p，卩，P线性无1 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3关5设有两个向量组ai,巧,叭和Pi=ai-a2+a3, P2=ai+a严片-ai+a2+a3,证明这两
6、个向量组等 价.6.求向量组 ai=(1,2,-1)T, a2=(0,1,3)T, a3=(-2,-4,2)T, a4=(0,3,9)T 的一个极大无关组，并将其余向量 用此极大无关组线性表示.,e能由它们线性表示，证n7.设a,a,a是一组n维向量，已知n维单位坐标向量e ,e ,1 2 n1 2明：a ,a ,a线性无关.1 2 n8设有向量组 ai，a2，a3，a4，a5,为零的实数），求向量组a,a3, a4，a5的秩.其中ai，a2，a3线性无关，a4=aai,a =ca +da (a, b, c, d 均为不25239.设矩阵 A= (1,2,n), B=(n,n-1,：1)，求秩 R(AtB).(21-11-1-21110.设矩阵 A = 4-62-236-97(12 020 - 411.已知矩阵A =-1 t 510 - 23、-2t * 4，若A的秩R(A)=2，求参数t的值.2、4人，求A的秩，并写出A的一个最高阶非零子式.0 - 2 612设 A 二-11- 5-43，求 A 的列向量组的秩，并写出它的一个极大无关组.13.设A为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，证明：如果A2=A,则R(A)+R(A-E)=n14.已知向量空间 R 3的两组基为r i
