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1、倒立摆在matlab的simulink库下的仿真倒立摆是处于倒置不稳定状态，人为控制使其处于动态平衡的一种摆。对于 倒立摆系统的控制研究长期以来被认为是控制理论及其应用领域里引起人们极 大兴趣的问题，倒立摆系统是一个典型的快速、多变量、非线性、不稳定系统。 研究倒立摆控制能有效地反映控制中的许多问题，倒立摆研究具有重要的理论价 值和应用价值，理论上，它是检验各种新的控制理论和方法的有效实验装置。应 用上,倒立摆广泛应用于控制理论研究!航空航天控制，机器人、杂技顶杆表演等 领域，在自动化领域中具有重要的价值。另外，由于此装置成本低廉，结构简单，便于 用模拟、数字等不同方式控制,在控制理论教学和科
2、研中也有很多应用。本论文中,以一级倒立摆为研究对象,对它的起摆以及稳定控制做了研究，主 要研究工作如下：1首先介绍了倒立摆系统的组成和控制原理，建立了一级倒立摆的数学模型, 对倒立摆系统进行定性分析，但在平衡点是能控的、能观的。2分析了倒立摆的起摆过程，对倒立摆的起摆能量反馈控制进行分析与说明。3. 在matlab2014a的simulink库下对倒立摆构造单级倒立摆状态反馈控制系 统的仿真模型和构造具有状态观测器的单级倒立摆状态反馈控制系统的仿真模 型。4. 对这次仿真的总结。一、倒立摆的控制目标倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的 振荡和过大的角度和速度。当摆
3、杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保 持稳定的位置。二、建立单级倒立摆系统的状态空间模型其中，质量为M的小车在水平方向滑动，质量为m的球连在长度为L的刚 性摆一端，x表示小车的位移，u是作用在小车上的力，通过移动小车使带有小 球的摆杆始终处于垂直的位置。为了简单起见，假设小车和摆仅在一个平面内运 动，且不考虑摩擦、摆杆的质量和空气阻力。如图1设系统的动态特性可以用小车的位移和速度及杆偏离垂线的角度0和角速 度0来描述。设小车位移为X,则小球中心位置是X +lsin0 在水平方向，应用牛顿第二定律：d2 x d2+ m (x + l sin 0 ) = ud 12 d 12d2md 12在
4、垂直于摆杆方向，应用牛顿第二定律:(x + l sin 0 ) = mg sin 0求微分方程得: (sin 0) = (cos 0) .0 d td 2(sin0) = (-sin0) -02 + cos0 -0 d 12 3 (cos 0) = (- sin 0) .0 d td2.(cos 0) = (- cos 0) .0 2 + (- sin 0) .0 d 12 化简得(M + m) y + ml0 q umy + ml0 q mg0线性化：当和较小时，有M和0较小时，有sin0cos 0 q 1化简得y竺0+丄uMM0=畔0-和选择状态变量小车的位移、小车的速度、小车的角度、小车
5、的角速度分别为x = yix = y2X =03X =04u为输入,X1001X1 111X00mg0X丄2M2+MX0001X033X00(M + m) g0X14 J1Ml11- 4 JL Mly为系统的输出0 0 0-X1X2X3X4状态图为三、单级倒立摆系统的极点配置1.状态反馈系统的极点配置及其MATLAB/Simulink仿真取适当的参数M小车质量0.1 Kgm小球质量O.OlKgl摆杆的长度1mu加在小车上的力y小车位移e摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下g重力加速度为10g/s2将参数代入后得到新的矩阵x_0100_x 0 一x111x0010x1y = 1
6、 0-x22+u0 0-2x0001x0x333x1- 4_00110_x41x1- 4接下来使用matlab和线性系统的能控性判据，通过是否为满秩来判断能控 性命令価口 A=_0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0.;B=O; 1 ;0 ;-1;C=：L 0 0 0：;rct=rank(ctrb(A? B)ret =4根据判别系统能控性的定理，该系统的能控性矩阵满秩，所以该系统是能控 的。因为系统是能控的，所以，可以通过状态反馈来任意配置极点。不失一般性，不妨将极点配置在s = 6 s =6.5 s = 7 s =7.51 ; 2 ; 3 ; 4在matlab下输
7、入命令 A=_0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 l;0 0 11 0.;B=O; 1 ;0 ;-l;p= 1-6 -6. 5 -7 -7. 51 ;K=place(A? B, p)-204. 7500 -122. 1750 -488. 5000 -149. 1750得到状态反馈矩阵为K = 1 204.75 122.175 488.5 149.175采用MATLAB/Simulink构造单级倒立摆状态反馈控制系统的仿真模型，如下图所示。Matrix AMatrix K首先，在MATLAB的Command Window中输入各个矩阵的值，并且在模型中的积分器 中设置非零初值（这里我们
8、设置为0 0 0.1 0。然后运行仿真程序。得到的仿真曲线从仿真结果可以看出，可以将倒立摆的杆子与竖直方向的偏角控制在=0 （即小球和杆子被控制保持在竖直倒立状态），另外说明下黄线代表位移，紫线 代表角度。2.设计状态观测器实现状态反馈极点配置及其仿真首先，使用MATLAB，判断系统的能观性矩阵是否为满秩。输入以下程序命令fiW口 A=_0 10 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0.:B=L0; 1 ;0 ;-1：;c=：i 0 0 0;0 0 1 0：;rob=raiik ： obsv (A, C)rob =4因为该系统的能观测性矩阵满秩，所以该系统是能观测的。因为系统是
9、能观 测的，所以，可以设计状态观测器。而系统又是能控的，因此可以通过状态观测 器实现状态反馈。设计状态观测器矩阵，使的特征值的实部均为负，且其绝对值要大于状态反 馈所配置极点的绝对值。通过仿真发现，这样才能保证状态观测器有足够快的收 敛速度，才能够保证使用状态观测器所观测到的状态与原系统的状态充分接近。 不妨取状态观测器的特征值为：s =201s =212s =223s =234输入以下的命令命令価口 A=：0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0：;A1=A?;C=：L 0 0 0;0 0 1 0：;C1=C?;P=-20 -21 -22 -23;Gl=place(
10、AlJCl?P);G=G1?G =42. 85141. 0395458.356521.39140. 938443. I48620.1527475. 6411得到状态观测器矩阵G如果采用MATLAB/Simulink构造具有状态观测器的单级倒立摆状态反馈控 制系统的仿真模型，如下图所示。首先，在MATLAB的Command Window中输入各个矩阵的值，并且在模型 中的积分器中设置非零初值这里设置初值为0 0 0.1 0。然后运行仿真程序。得 到的仿真曲线。从仿真结果可以看出，可以将倒立摆的杆子与竖直方向的偏角控制在=0（即小球和杆子被控制保持在竖直倒立状态），另外说明下黄线代表位移，紫线 代表角度。3.总结由仿真结果对比可知，加不加观测器都可以很好的控制摆杆不倒，完全可以 达到控制要求。但是加观测器的系统控制效果要优于没有加观测器的系统。参考文献郑大钟.线性系统理论(第2版)：清华大学出版社(2002-2012) 欧阳黎明.MATLAB控制系统设计M.北京：国防工业出版社，2001.线性系统理论和设计，仝茂达 编著，出版社：中国科学技术大学出版社，1998 4线性系统理论，段广仁编著，哈尔滨工业大学出版社1996曾水平的PPT.
