一) 直齿圆柱齿轮传动的扭转振动模型若忽略传动轴的扭转变形，只考虑齿轮副处的变形，则得到最简单的扭转振动模型，如图1所示其中务、％为主从动齿轮的基圆直径，k为齿轮副的综合啮合刚度，并且考虑 b1 b2 v图 1 齿轮副的扭转振动模型图炜齿轮剛的扭转型齿轮副的啮合阻尼系数Cv以及齿廓误差e的作用，主动轮上作用与转动方向相同的驱动力 矩匚，从动轮上作用与转动方向相反的阻力矩t2啮合线上的综合变形§ f可写为：8 =0r —0 r —ei 1 b1 2 b 2 i设重合度小于2,啮合齿对为〈法向啮合力可以表示为：F -工 F -工(k 8 + c 8 )=工「k (0 r —0 r 一e )+ c G r —0 r 一e ⑵i vi i vi i L vi 1 bl 2 b2 i vi 1 bl 2 b2 i」i i i式中：f为参与啮合的齿对序号，/=1,2； kv、cv•为齿对/在啮合点位置的综合啮合刚度 和阻尼系数主、从动齿轮的力矩平衡方程为：J 0 -T — r F1 1 1 blJ 0 -T — r F2 2 2 b 2ei月-)+ c G r —0 r — e )」-—Tvi 1 b1 2 b 2 i」 2将(2)带入(1 )中得到：J 0 + r1 1 bl工Lk (0 r —0 r — e )+ c G r —0 r — eL vi 1 b1 2 b 2 i vi 1 b1 2 b 2 iJ 0 — r 工「k (0 r —0 r — e2 2 b 2 L vi 1 b1 2 b 2 ii由此式可看出，即使主动齿轮转速以及传动载荷恒定，由于时变综合刚度kv的变化， 也会使从动轮的转动出现波动，即造成齿轮的圆周振动。
为了方便讨论时变综合刚度kv对 振动方程⑷的影响，定义啮合线上两齿轮的相对位移X为：X 0 r —0 r1 b1 2 b 2不考虑齿轮传动的效率，齿轮的静态啮合力为：F T TF = —1 = -^2-0 r rb1 b2将式(5)、(6)带入方程⑷中，则可将其简化为一元微分方程:m X + c X + k x-F式中，e v v dme称为系统的当量质量：m =e J r 2 + J r2激振力为：2 b1 1 b 2F = F + 工 c e + 工 k ed 0 vi i vi iii根据方程(9)可以将一对齿轮的振动视为单自由度系统的振动，如图2所示可以看出 时变综合刚度匕和齿廓误差弓都是随时间变化的量，也即是齿轮系统的刚度激励和误差激 励x(t}呛)® 12- 3. 2齿轮传动的单自由度模型图 2 齿轮传动的单自由度模型与方程⑺对应的系统的固有频率可以表示为：£ _ 1 1 圧 kf = ~ 旷=- 斗 (10)2兀 m 2兀 me T e二) 直齿圆柱齿轮副啮合耦合型振动分析图 4 直齿轮齿轮副耦合振动模型在不考虑齿面摩擦的情况下，典型的直齿圆柱齿轮副的啮合耦合型动力学模型如图 4 所示。
齿轮的动态啮合力Fp为：F = F + F = k (y + R 0 一 y + R 0 一e)+ c (y + R 0 — y + R 0 — e)(i2)P k c m p g p g g g m p g p g g g推出系统的分析模型为：m y + c y + k y = 一 Fp p py p py p pI 0 =-FR -Tp p p p pm y + c y + k y = - F = - Fg g gy g gy g g pI 0 =-FR -T =FR -Tg g g g g p g g三) 考虑摩擦直齿圆柱齿轮副啮合耦合型振动分析考虑齿面摩擦时的分析模型，如图5 所示系统变成6自由度的二维平面振动系统图 5 考虑齿面摩擦的直齿轮齿轮副振动模型齿轮副的动态啮合力仍为式(12),而齿面摩擦力可近似表示为：Ff =X fFp式中，f为等效摩擦系数；入为轮齿摩擦力方向系数，Ff沿x正方向时取为“ +1”，反之取为“-1”图6根据图6可建立系统的分析模型为：m X + c X + k x = Fp p px p px p fm y + c y + k y = 一 Fp p py p py p pI 0 =-FR -T + F \R tan卩-H丿p p P p p f pm X + c X + k x = 一 Fg g gx g gx g fm y + c y + k y = Fg g gy g gy g pI 0 =-FR -T + F VR tan卩 + H丿g g g g g f g四) 直齿轮-转子系统扭转振动模型在对一对齿轮副建模的基础上，再考虑到传动轴的扭转刚度以及原动机和负载的转动惯量，从而形成了齿轮-转子系统扭转振动问题，其动力学模型如图3所示。
图3 齿轮转子系统扭振模型 对该力学模型所示的振动系统，如果不考虑传动轴的质量，将原动机、主被动齿轮和负 载可分别处理为 4个集中转动惯量的元件，因而是4 自由度扭转振动系统，从而建立如下的 振动微分方程：=T))101-00KI K.0 .)G Gcl c+ +QOOHII.0- 1:32丄@ @ 丄K3 K o .00=Tdr2-)30式中，0 1 2 I3分别为4个质量的转动惯量；C]、C2分别为主、被动连接轴的扭转 阻尼；K1和K3分别为主、被动连接轴的扭转刚度；T1和T2分别为原动机和负载上的扭矩；F 为轮齿动态啮合力根据式⑵可知Td为：T = C Cr0 - r0 - e)+ K (r0 - r0 - e)d m 1 1 2 2 m 1 1 2 2整理后可得齿轮转子扭转振动微分方程：[m ] "M+ [c ] "0 }+ [k ]{e}={p}其中{0}={0 0 0 0 }t0 1 2 3Dm ]=[c ]=C1-C103-C1C + r 2C1 1 m-r rC2 1 m0-rrC1 2 mC + r 2C3 2 m-C3[k ]=-C3C3K1-K10-K1K + K r 21 m 1-r r K210-rrK1 2 mK + K r 23 m 2-K3Ti-C re -rK em 1 1 mC re + rK em 2 2 m-T3-K3K3五）斜齿圆柱齿轮副弯—扭—轴耦合分析模型在斜齿圆柱齿轮传动中，由于轮齿的啮合会产生轴向的动态啮合分力，因此系统除具有扭转振动和横向振动外，还好引起轴向振动，从而形成齿轮系统的弯-扭-轴耦合振动，一对动位移间的关系可以表示为：z = y tan 卩因此，P、G点的振动位移与主动轮广义位移间的关系分别为:zp=y =y +e Rp p _p pz 一 y tan 卩ppzg =y = y -0 Rg g _g gz - y tan 卩gg已知齿轮啮合的法向刚度心、法向阻尼cm和法向啮合误差e,则相应的有:cos卩my mc =c cos卩my me = e sin 卩yk = k sin 卩 k = kmx mc = c sin 卩mz me = c sin 卩z因此，相应的切向动态齿合力Fy为： （亍-亍I p g(-- )F =k y -y -e +cy my p g y my盯k (y +0 R - y +0 R=cosmpppgg、-ey丿-e )+ c (y +0 r - y +0 r -e ” y m p p p g g g y」轴向动态啮合力Fz为:F =kz mzp-zg-e)+ cmzz -zpg-tan 卩(yp --z - tan 卩(y +0 R )-p+ 0 R )- z + tan 卩(y -0 R=sin 卩
这时,系统 为一空间三维振动模型图8如图8所示，设主动齿轮的螺旋角为右旋，其大小为B,则啮合点的横向振动x向和y 向，及横向振动y向和轴向振动z向的关系可表示为：y tan ax 二 y tan a =一t cos pz 二 y tan p主动轮1中心点o1在啮合点上振动位移与主动轮广义位移之间的关系为:x = x - y tan a = x -( y +0 R ) tan a1 1 1 t 1 1 1z 1 ty =y +0 R1 1 1z = z - y tan P = z1 1 1-(y +0 R )tan P1 1z 1被动轮2中心点O2在啮合点上振动位移与被动轮广义位移之间的关系为:x =x + y tana2 2 t= x + (y -0 R )tan a2 2 2 z 2 ty = y - 0 R2 2 丄 z 2z = z 一 y tan P = z -(y -0 R )tan P2 2 2 2 2 2z 2若已知齿轮啮合的端面刚度&、端面阻尼j则相应的有：k = k tan a k = k k = k tan Pmx t t my t mz tc = c tan a c = c c = c tan Pmx t t my t mz t因此，相应的各向动态啮合力为:(- 丿F = k x 一 x /+ cX mX 1 2 mX/ 、X 一 X12\ 丿=k (x — (y + 0 R 丿 tan a — x — (y —0 R 丿 tan a 丿mx 1 1 1z 1 t 2 2 2 z 2 '+c x — (y + 0 R 丿tan a — x — (y — 0 R 丿tan a mx 1 1 1z 1 t 2= k tan a (x — x — ( y + y + 0 R — 0 R 丿 tan a 丿:(1.2 (. +c tan a \x — x —\yt t 1 2 ~1。