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1、2011年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(浙江卷)本试题卷分选择题和非选择题两部分满分150分，考试时间120分钟选择题部分(共50分)参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(AB)P(A)P(B)如果事件A、B相互独立，那么P(AB)P(A)P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重新试验中事件A恰好发生k次的概率 (k0，1，2，n)台体的体积公式其中S1，S2分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高柱体的体积公式VSh其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高锥体的体积公式其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高球的表面积公式S4R2球的体积公式 其中R表示球的半径一、
2、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设函数.若f()4，则实数等于()A4或2 B4或2C2或4 D2或22把复数z的共轭复数记作，i为虚数单位，若z1i，则(1z)()A3i B3i C13i D33若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()4下列命题中错误的是()A如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面平面，平面平面，l，那么l平面D如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面5设实数x，y满足不等式组，若x，y为整数，则3x4y的最小值
3、是()A14 B16 C17 D196若，则等于()A B C D7若a，b为实数，则“0ab1”是“或”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件8已知椭圆C1： (ab0)与双曲线C2：有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点， 若C1恰好将线段AB三等分，则()Aa2 Ba213 Cb2 Db229有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是()A B C D10设a，b，c为实数，f(x) (xa)(x2bxc)，g(x)(ax1)(cx2bx
4、1)记集合Sx|f(x)0，xR，Tx|g(x)0，xR，若|S|，|T|分别为集合S，T的元素个数，则下列结论不可能的是()A|S|1且|T|0 B|S|1且|T|1C|S|2且|T|2 D|S|2且|T|3非选择题部分(共100分)二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分11若函数f(x)x2|xa|为偶函数，则实数a_.12若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是_13设二项式 (a0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B， 若B4A，则a的值是_14若平面向量、满足|1，|1，且以向量、为邻边的平行四边形的面积为，则与 的夹角的取值范围是_15某毕业生参加人才招聘会，
5、分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的记X为该毕业生得到面试的公司个数若P(X0)，则随机变量X的数学期望E(X)_.16设x，y为实数若4x2y2xy1，则2xy的最大值是_17设F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点A，B在椭圆上若，则点A的坐标是_三、解答题：本大题共5小题，共72分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C已知sinAsinCpsinB(pR)，且.(1)当p，b1时，求a，c的值；(2)若角B为锐角，求p的取值范围19
6、已知公差不为0的等差数列an的首项a1为a(aR)，设数列的前n项和为Sn，且，成等比数列，(1)求数列an的通项公式及Sn；(2)记An，Bn，当n2时，试比较An与Bn的大小20如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC8，PO4，AO3，OD2.(1)证明：APBC；(2)在线段AP上是否存在点M，使得二面角AMCB为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由21已知抛物线C1：x2y，圆C2 ：x2(y4)21的圆心为点M.(1)求点M到抛物线C1的准线的距离；(2)已知点P是抛物线C1上一点(异于原点)，过点P作圆C2
7、的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程22设函数f(x)(xa)2lnx，aR.(1)若xe为yf(x)的极值点，求实数a；(2)求实数a的取值范围，使得对任意的x(0，3e，恒有f(x)4e2成立. 注：e为自然对数的底数参考答案1B2A3D 4D5B 6C7A8C 9B10D 11答案：012答案：513答案：214答案：，15答案：16答案：17答案：(0，1)或(0，1)18解：(1)由题设并利用正弦定理，得，解得或(2)由余弦定理，b2a2c22accosB(ac)22ac2accosB，即，因为0cosB1，得p2(，2)，由题设知p
8、0，所以.19解：(1)设等差数列an的公差为d，则(，得(a1d)2a1(a13d)因为d0，所以da1a所以anna，.(2)因为，所以因为a2n12n1a，所以当n2时，n1，即，所以，当a0时，AnBn；当a0时，AnBn.20解：方法一：(1)证明：如图，以O为原点，以射线OP为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0，0，0)，A(0，3，0)，B(4，2，0)，C(4，2，0)，P(0，0，4)，(0，3，4)，(8，0，0)，由此可得，所以，即APBC(2)解：设，1，则(0，3，4)(4，2，4)(0，3，4)(4，23，44)，(4，5，0)，(8，0，0)设平面
9、BMC的法向量n1(x1，y1，z1)，平面APC的法向量n2(x2，y2，z2)由得即可取n1(0，1，)由即得可取n2(5，4，3)由n1n20，得430，解得，故AM3.综上所述，存在点M符合题意，AM3.方法二：(1)证明：由ABAC，D是BC的中点，得ADBC又PO平面ABC，得POBC因为POADO，所以BC平面PAD，故BCPA(2)解：如图，在平面PAB内作BMPA于M，连结CM.由(1)知APBC，得AP平面BMC又AP平面APC，所以平面BMC平面APC在RtADB中，AB2AD2BD241，得.在RtPOD中，PD2PO2OD2，在RtPDB中，PB2PD2BD2，所以P
10、B2PO2OD2DB236，得PB6.在RtPOA中，PA2AO2OP225，得PA5.又cosBPA，从而PMPBcosBPA2，所以AMPAPM3.综上所述，存在点M符合题意，AM3.21解：(1)由题意可知，抛物线的准线方程为：，所以圆心M(0，4)到准线的距离是.(2)设P(x0，)，A(x1，)，B(x2，)，由题意得x00，x01，x1x2.设过点P的圆C2的切线方程为yk(xx0)，即ykxkx0.则1，即(x021)k22x0(4x02)k(x024)210.设PA，PB的斜率为k1，k2(k1k2)，则k1，k2是上述方程的两根，所以k1k2，k1k2.将代入yx2，得x2k
11、xkx0x020，由于x0是此方程的根，故x1k1x0，x2k2x0，所以kABx1x2k1k22x02x0，kMP.由MPAB，得kABkMP1，解得，即点P的坐标为(，)，所以直线l的方程为.22解：(1)求导得因为xe是f(x)的极值点，所以，解得ae或a3e.经检验，符合题意，所以ae或a3e.(2)当0x1时，对于任意的实数a，恒有f(x)04e2成立当1x3e时，由题意，首先有f(3e)(3ea)2ln(3e)4e2，解得.由(1)知，令h(x)2lnx1，则h(1)1a0，h(a)2ln a0，且.又h(x)在(0，)内单调递增，所以函数h(x)在(0，)内有唯一零点，记此零点为x0，则1x03e，1x0A从而，当x(0，x0)时，f(x)0；当x(x0，a)时，f(x)0；当x(a，)时，f(x)0.即f(x)在(0，x0)内单调递增，在(x0，a)内单调递减，在(a，)内单调递增北京天梯志鸿教育科技有限责任公司
