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1、绝对值设数轴上表示兀的点到原点距离为/3),写出/(x)的函数表达式.设数轴上表示兀的点和表示a的点的距离为g(x),写出g(x)的函数表达式.IX (x0)0 3=0)x (xa) g(x)=|xa|=-o (x=a).ax (x4.解法一：由 X1 = 0,得x=l；由 x3=0,得x=3； 若x4,即一2x+44,解得x0, 又 xl,.xVO； 若lWx4, 即 14,不存在满足条件的心 若xN3,不等式可变为(x-l) + (x-3)4, 即 2x-44,解得 r4.又坨：3,Ax4.综上所述，原不等式的解为xVO,或 x4.解法二 如ffl, |X-1|表示x轴上坐标为x的点P到坐
2、标为1的点A之间的距离|円|,即PA=x 1|; |x3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|,即|PB|=|x3|所以，不等式|x-l|+|x-3|4的几何意义即为PA+PB4.由AB=2t可知点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点伙坐标为4)的右侧.xVO,或x4.区一1|二次函数的表达形式二次函数有三种表达形奔1、顶点式：y=a(xk)2+h (aHO)0-开口方向：朝上；对称轴：直线x=-；单调性：在(一8 ,町内单调递减，在(R, +)内单调递增；最值：当x=k时y取到最小值几o时有两个不相等的根，分别为*+寸弓和当一 =0时有两个相等的根，为x=k；当一力V0时没有根
3、.2、一般式：y=ax2+bx+c H0）a0：开口方向：朝上；对称轴：直线x=单调性：在（一 8 , ）内单调递减， 在（一缶 +8）内单调递增；最值：当“=一空时y取到最小值兰护.o时有两个不相等的根，厂b+巫_b_仏分别为加和勿； 当=，一Mc = 0时有两个相等的根，为 当厶=庆一4cV0时没有根.根与系数的关系（韦达定理人若一元二次方程ax2+bx+c = Q （a/0）有两个实数根-b+优 -b_yXX1= 2n 小=2a 其中=沪一仏NO,则有+VA | by 2b bXl +2= 2a + 2a = 2a =_?b+y ba/Ab1 4ac cX1X2= 2a 2a =三厂=N
4、 = /所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系，如果ax2+bx+c=O （殍0）的两根分别是心，x2,那么冲+兀2=夕，小之2=十这一关系也被称 为韦达定理.特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=Ot若xi，心是其两根，由韦达定理可Xi+x2=p9 xrx2=q9rP = (x1+x2)f q=xvx2f所以，方程x2+px+q=0可化为x2(Xj +x2)x +xi =0,由于心，七是一元二次方程x2+px +?=0的两根，所攻，Xi，尤2也是一元二次方程X2(Xi +x2)x +xi-x2=0.因此有特别地，以两个数X】，心为根的一元二次方程(二次项系数为1)可以
5、表示为 一X2 (X1 +xi)x +xi X2 = 0 3、零点式：y=a(xx) (xX2)(aHO) a0：开口方向：朝上；对称轴：直线x= 警；单调性：在(一8 , 普内单调递减，在吾尹，+8)内单调递增; 最值：当x=时丿取到最小值一 (X1X2y.0：“(XXi)(XX2)0 的解集为(一8, X1)U(X2, 4-00).fl(rxO(xx2)0 的解集为街，x2)；二次函数的最值一般地，设J =/(x)的定义域为A.若存在定值X GA,使得对任意xeA, /(x)/(x)ta成立，贝IJ0 0称/(x )为丿=/3)的最大值(maximum value,记为丿=f(x ).0m
6、ax0此时，在图象上，r化)是函数图象的最高点.若存在定值誉A,使得对任意后)心。)恒成立，则称代)为严他的最小值(讪呗 value,记为y =f(x).min0此时，在图象上，(X , /3)是函数图象的最低点. 0 0例1下图是函数尸/3)的图象，指出它的最大值.最小值及单调区间解：函数的y=/(x)当x=3时取得最大值3；当x = -1.5时取得最小值一2函数的单调增区间为-1.5, 3, 5, 6,单调减区间为一4, -1.5, 3, 5, 6, 71.思考：观察上图的最大值、最小值和单调区间，你有什么发现?例2求下列函数的最小值与最大值.(1) j=x2-2x, xeO, 3；(2)
7、 j=x+j,3解 方法1因为y=x2Zx=(x l)2 1,所以函数y=x22xfxEO, 3的图像如所示.当当当当当当综xeo, 1时，/(x)是单调减函数，从而X = 0时，丿取得最大值Jmar = O；X = 1时，y取得最小值ymill= 1. xel, 3时，/(x)是单调增函数，从而X = 1时，y取得最小值ymin= 1;y取得最大值y,ar = 3y当 r0, 3时，ymin= l9 ymax=3.解(方法 2)因为y=x2-2x=(x-l)2-l9 xGO, 3,所以当 xe0, 1时，/(x)是单调减函数，当xGl, 3时，/3)是单调增函数,从而jmm=j|x=l= 1
8、；ymax=niaxyx9 yx3由于 x=0 时，j = 0； x=3 时，j=3,所以 y,ax=3. 综上，当 x0, 3时，ymh, = l9 畑=3S-3解(2)函数y =x+吕xW百，3的图像如图所示. 对任意的刁，x2e, 3,11X2XiviV2=iH（小+一）=xi小+ J JXi v XX1X21XX21=31 小）（1 一乔）=（Xi 砂XX2当 3WX1VX2W 1 时，XlX20, OX1X2 所以XX20,所以，函数y=x+在区间亡，1上是减函数. 同理可证函数y=x+区间1, 3上是增函数.所以 J/mM=j|x-i=2, ymax=inaxyx=910儿3=亍说
9、明 如果本题仅求函数的最小值，也可用下面的方法来处理: 由于 xW 右，3时，y=x+=(S)+2M2, 且当托=走，即x = l时，y=2,所以ymin=2.例3函数/3）=工一心一4在区间/, r+i（re/?）上的最小值记为g（/）.试写出g（r）的表达式，作 出g（f）的图象，并求g（r）的最小值.解 函数 /（x）=（x-2f-8.1。当/2,函数/（X）在区间血f+1上是增函数，g（r）=/（r）=F-4/-4；2。当 /2/+1,即 时，g（/）=/（2） = -8；3。当t+l2t即fVl时，函数/（x）在区间f, f+1 上是减函数，g（t）=f（t+i）=r2t7.722/
10、7, ri,所以 g（）=：8,1/2.分段函数g（f）的最小石是一&例4求函数y=x2+tx+1在区间一1, 1上的最值; 解：（1）函数y=x2+tx+l的对称轴为直线x=j.x1。若一1,即C2时，函数在一1, 1上单调增， 当 x= 1 时，皿=2（,当 x=l 时，ynlax=2+ti2。当一IV扌V0,即 0VFV2 时，当兀=时，yn,in=l9 当 X=1 时，y,ax=2+t；3。当叱一fvi,即一2t0 时，当*=f时，当 x= 1 时，ymax=2t4。当一1,即tO：开口方向：朝上；对称轴：直线尤=单调性：在（一8 ,灯内单调递减，在（匕+8）内单调递增； 最值：当x=k时y取到最小值力.0时有两个不相等的根，分别为W+寸和k-寸 当一力=0时有两个相等的根，为x=k； 当一 V0时没有根.2、一般式：y=ax2+bx+c （0）=心+缶+蔦a0：开口方向：朝上；对称轴：直线兀=彩；单调性：在（一8 , ）内单调递减，在（一, +8）内单调递增； 最值：当X=-詈时y取到最小值a0：开口方向：朝下；对称轴：直线x =-匕单调性：在（一 8 , 一缶内单调递增，在（一纟，+呵内单调递减； 最值：当x=-时丿取到最大值气兰.令y = 0解的情况：当厶=沪一滋00时有两个不相等的根
