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1、目录目录I摘要II前言 IV1 二重积分的相关概念 11.1 二重积分的概念 11.2 曲线积分、曲面积分的概念 12 二重积分的计算 12.1 直角坐标系中的计算方法 12.2 极坐标系中的计算法 42.3 曲线积分、曲面积分的计算 52.3.1 第一类曲线积分 52.3.2 第二类曲线积分 72.3.3 两类曲线积分的联系 72.3.4 第一型曲面积分 82.3.5 第二型曲面积分 9 参考文献 14 致谢 15二重积分的典例综述摘要：二重积分计算的基本途径是将其转化为二次积分计算，计算二重积分 时选择积分次序，交换积分次序以及转换坐标系都是至关重要的问题.为简 化二重积分换元公式的推导，
2、利用定积分的换元法及二重积分的有关知识， 提出了一种简便的推导方法 .本文还介绍了如何利用对称性来计算二重积 分，并提出了通过适当改造被积函数和积分区域以利用对称性来简化计算 的方法.对积分区域的边界曲线由参数方程表示的二重积分，我们也将给出 两种不经消参数而直接计算的方法.关键字：二重积分; 被积函数；积分限；积分区域； 二次积分; 累次积分； 积分次序;换元法；对称性.Double Integral CalculatingAbstract: The basic way of calculating double integral is to change it into the quadr
3、adic integral,its a important problem of choosing the integral order exchanged integral order and conversion coordinate systerm,when we calculating double integral.To simplify the detrusion of the double integral exchange formula,a simple method is derived after using the recevant knowledge of the m
4、ethed of substitution in definite integral and double integral.The paper introduces the method of calculating double integral with symmetry,and then puts forward a calculating method by rebuilding integrand and domain of integration reasonably. At last,for the double integral which the boundary curv
5、e of its domain of integration is denoted by the panameter equation, we will supply a directed method which do not eliminate the parameter.Keyword: Double integral; Integralted function; Integral limit; Integral region; Quadradic integral; Repeated integral; Integral order; Definite integral; Variab
6、le substistute; Symmetry; Creens fomula.前言二重积分是高等数学教学中多元函数积分学中的重要部分，它上承接着定积分，下 引出三重积分和曲线积分、曲面积分。采用层进式教学法可以由浅入深的让学生轻松掌 握这种积分的算法。是高等数学的重点,也是难点,计算较为繁琐,有的二重积分需要一 定的技巧才能求出，二重积分的计算方法主要是在极坐标系和直角坐标系下将二重积分 化为二次积分,进而要利用两次定积分计算此二重积分,但是某些二重积分化为二次积 分后计算仍相当困难,这时,我们就要采用特殊的算法计算,讨论几类特殊的被积函数二 重积分的选择积分顺序的问题,研究了如何用轮换法求
7、二重积分。通过系统的学习与严 格的训练，全面掌握数学分析的基本理论知识、思想与方法；培养严格的逻辑思维能力 与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微积分这一 工具解决实际应用问题的能力。通过学习与研究，激发学生热爱专业，增强建设祖国的 事业心和责任感，为学习数学专业的所有后续课程打下基础。1二重积分的相关概念1.1二重积分的概念设二元函数z=f(x,y)定义在有界闭区域D上，将区域D任意分成n个子域 6i(i=1,2,3,., n),并以表示第i个子域的面积。在上任取一点(,叩)，作和 n/i=1 Z(i，ni)A6i。如果当各个子域的直径中的最大值入趋于零时，此和
8、式的极限存在, 则称此极限为函数f(x,y)在区域D上的二重积分，记为JJf(x,y)d6，即JJf(x,y)d6=lim这时，称f(x,y)在 D上可积，其中f(x,y)称被积函数，f(x,y)d6称为被积表达式，d6称为 面积元素，D称为积分域JJ称为二重积分号。1.2 曲线积分、曲面积分的概念第一类曲线积分本质上就是在曲线上对标量求和。第二类曲线积分本质上就是在曲 线上对矢量的投影求和。第一类曲面积分本质上就是在曲面上对标量求和。第二类曲面积分本质上就是在曲 面上对矢量的投影求和。2. 二重积分的计算2.1. 直角坐标系中的计算方法这里我们采取的方法是累次积分法。也就是先把x看成常量，对
9、y进行积分，然后在 对x进行积分，或者是先把y看成常量，对x进行积分，然后在对y进行积分。为此我 们有积分公式，如下：側力=加防也巧如=血说；/“网JJ几)力訂;；：狗5)鬧訂;刎:;:影也g 或S在这里我们可能会有这个问题：累次积分的上下限是怎么确定的呢？例1：将Ldyf (xy皿化为先对y后对x的累次积分。解: 先将累次积分化为二重积分,再化为另一次序的累次积分f ( x, y )dxQ)其中(a )是由抛物线y2 = x及直线y = x - 2所围成的闭区域,它可分为两个x -型区域之 并.所以原积分J 4 dx J xf ( x, y )dy1x-2JJ 3x2 y 2 dxdy例2：
10、计算D，其中D是由x轴,y轴和抛物线y = 1 - x2所围成的在第一象限的闭区域。JJ3x2 y 2 dxdy解：D是x-型区域.J1 dx J1-x?3x2 y2 dy = J1 x2 (1 - x2)3 dx =000315注:D也为y -型区域，但若化为先对x后对y的累次积分,则计算较繁。JJ (x2 + y2) dxdy例3：计算D，其中D是由中心在(a ,0),半径为a的圆所围上半区域。解：在极坐标系下,D可表示为：兀0 0 ,0 p 2 a cos 02x2 + y2) dxdyJJ=J 2 d0 J2 a cos 0 p 3 d p = 4 a 4 J 2 cos 4 0 d
11、00 0 0=4 a4 J 2 cos 4 0 d 001 + cos 202怎 1113=4 a4 J 2 (+ cos 20 + cos 40 ) d0 = 冗 a40 4884例4 ：计算二重积分JJ(4-D一 y) dxdy2, 其中 D 为矩形区域D : -2 x 2,-1 y 1 解 由x, y在D上的变化范围可得JJ (4 一 一 y)dxdy = J2 dx J1 (4 一 一 y)dy2- 2-12D21 14 y 一 xy 一 y222dx= J 2 (8 一 x )dx = 32一1一2x2 y =例5 :已知xOy平面第一象限内的区域D是由直线x = 0, y = 2和
12、抛物线)2所围成,(1) 求区域D的面积5 ；求以曲面z = f (x, y) = xy为顶，以d为底的曲顶柱体的体积V。解 (1)列方程组可求得各曲线的交点(0,0)、(0，2)和(2, 2),画出区域d的草图(图10.13),并且不等式表示:x2D : 0 x 2, y 2于是根据面积公式可得5 = JJ dxdyD2dx = J2 (x 一 )2x3=(2x -)62)根据二重积分的几何意义可得累次积分上下限的确定方法。我们先来对区域作些补充说明：如果经过区域9)内任意一点(即不是区域边界上的点) 作平行于y轴(或x轴)的直线，且此直线交)的边界不超过两点，那末称(a)为沿y轴(x 轴)
13、方向的正规区域。如果(a)即是沿y轴方向也是沿x轴方向的正规区域，那末(a)就称为正规区域。下图所示的即为正规区域:关于累次积分上下限的取法如下所述:(1) .如果(a)为沿y轴方向的正规区域，那末二重积分可化为先对y再对x的累次积分。 其中对y的积分下限是(a)的下部边界曲线所对应的函数y1(x)，积分上限是上部边界曲 线所对应的函数y2(x)。对x的积分下限与上限分别是(a)的最左与最右点的横坐标a与b。(2) 如果(a)为沿x轴方向的正规区域，那末二重积分可化为先对x再对y的累次积分。 其中对x的积分下限是(a)的左部边界曲线所对应的函数x1(y)，积分上限是右部边界曲 线所对应的函数x
14、2(y)o对y的积分下限与上限分别是(a)的最低与最高点的横坐标c与d。(3) .如果(a)为正规区域，那末累次积分可以交换积分次序。.如果(a)既不是沿y轴方向的正规区域，也不是沿x轴方向的正规区域，那末总可 以把它化分成几块沿y轴方向的正规区域或沿x轴方向的正规区域，然后根据积分的性 质即可求解积分。例6：求二重积分 3，其中(a)是由尸I。所围成的区域。解答：因为是正规区域，所以我们可先对y后对x积分，也可先对x后对y积分。 这里我们采用前者先对y后对x积分：(宀代如访心+ 呱心宀询=*宀存冷=盖2.2 极坐标系中的计算法如果二重积分的被积函数和积分区域(o)的边界方程均由极坐标的形式给出，那末我 们如何计算呢？下面我们给出极坐标系中二重积分的计算公式。如果极点0在
