悖论逻辑浅析

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1、悖论逻辑浅析悖论，是一个与数学、逻辑学等多个学科紧密联系的课题，其成因往往是深刻复杂的， 本文通过对悖论进行初步探究，可以使我们对许多数学、逻辑的概念有更加深刻的认识，而 悖论的成因也正与定义的不明确，或者我们对定义的不理解有关，这些内容都将在本文中加 以初步解读。本文将在前人研究的基础上加以梳理，用逻辑分析与解读的方式，力争让大家对悖论， 尤其是数学悖论有所认识。而在数学的领域中，历史上曾经有过多个重大的悖论课题，如康 托尔悖论、最大序数悖论等。这些悖论当时看似动摇了数学的根基，实则让我们在研究悖论 的过程中对数学与逻辑、概念有了更深刻、更清晰的理解。再此，若要浅析悖论问题，首先 要对数学上

2、的悖论问题进行分类研究，其中就要涉及到有限与无限悖论及概率，统计，几何 时间，逻辑等类型的悖论。本文的学习结果主要为：初步认识到了悖论的成因，以及几种典型的悖论类型，并对其 进行了一定程度上的分析。在对数学逻辑悖论进行研究的过程中，我们可以对一些数学上的概念、定义有更深刻的 认识，同时使我们有一个更清晰的逻辑思维。从而提升自身！关键词：悖论;康托尔;逻辑第一章 绪论1.1 研究背景及意义本文研究意义在于：解除一些悖论在学习中给我们带来的疑惑，明确一些数学与逻辑学 中的定义，理清思路，使我们逻辑更加清晰、对定义的理解更加明确，从而也对我们所学习 的理论有更加深刻的认识。1.2 研究对象本文的研究

3、对象以数学、逻辑学两方面的悖论为主，同时还会涉及到一些数学定义等。1.3 研究思路对前人提出的悖论，通过明确定义以及理清逻辑思维，对经典的悖论进行1.4 研究方法文献法、运算法、讨论法、归谬法等。1.5 知识准备研究悖论，首先要以逻辑思维为基础，涉及到的具体的、较为深入的专业知识并不是非 常多，首先，在数理逻辑悖论的探究中，需要具备一定的数学基础，特别是逻辑语言与统计 学的基础知识，了解集合论的一些基本定义、统计学中的权重等概念。第二章 逻辑意义的悖论概念2.1 定义在逻辑学大词典中，对逻辑悖论的释义是：逻辑学术语。（1）即指：悖论（2）指： 狭义逻辑学悖论。（3）指：集合论悖论。我们可以看出

4、，以上三个定义是三个内涵逐渐深入， 外延逐渐收窄的种属关系。而逻辑悖论，通常被我们认为是某一类命题的总称1。在“逻辑悖论”一词的具体的定义中，我们可以有以下说法：其一，逻辑悖论是指一种 导致了矛盾的命题，此类命题，若承认其为真，那么它是假的；如果承认其为假，那么它就 是真的。（源自逻辑学大词典）其二，对于一命题V,若认可A,那么可推出非A,若认可 非A,那么可推出A。（源自辞海）其三，指一类“若肯定其为真，则推出其为假；若肯 定其为假，则推出其为真”的命题，也可描述为：一个命题A, A蕴含非A，而非A又蕴含A, A 与自身的否定是等价的。（源自中国大百科全书）我们可以由逻辑推断得出,以上三类

5、定义在实际内涵上是统一的，只是表述与操作的方式不同，而从定义的科学性上来讲，定义 一只针对说谎者悖论；定义二则针对矛盾的等价形式；而定义三可涵盖前两种定义。但是三 者均有一个明显的漏洞，即悖论中的矛盾与真假，均非仅仅建立在命题的基础上，而是建立 在命题所依附的学科方向所定义的基本概念的基础之上的。2在对以上描述完全理解之后， 即可对逻辑悖论的定义有所了解，同时还明确了悖论产生的原因：我们对学科中某些定义的 理解出现了偏差和错误。另外，严谨的逻辑悖论必须符合以下三个要素，即：“公认正确的背景知识”、“严密 无误的逻辑推导”、“可以建立矛盾等价式”。唯有如此，悖论才可能足够严密。2.2 狭义逻辑悖

6、论与广义逻辑悖论首先，广益悖论与狭义悖论均应满足逻辑悖论的三要素。1首先简述狭义逻辑悖论。逻辑悖论这一概念，首先是由莱姆塞提出的。他所描述的逻辑 悖论即为“逻辑悖论”一词最狭义的用法，即其逻辑的要旨是指逻辑悖论所借以推导的背景 知识的逻辑性。是对逻辑的元逻辑研究。由于此处的对象逻辑主要为指集合论的内容,而集合 论之语言既可转化为纯粹的逻辑语形语言,亦可以转化为高阶逻辑语言,故而,莱姆塞意义上 的逻辑悖论常被认定为高阶逻辑悖论,更多地被称为集合论-语形悖论，或简称为语形悖论， 这就是莱姆塞提出的狭义逻辑悖论悖论。而后，我们再来简述广义逻辑悖论。“逻辑悖论”一词的广义用法，即指导出悖论的推 导过程

7、是符合逻辑的。此处的“符合逻辑”一词有两层含义。第一层为：所导出的矛盾性结 论为形式逻辑层面的逻辑矛盾,而不是修辞层面，也不是辩证逻辑层面的矛盾。第二层为：我 们得出的悖论是符合经典的逻辑推理原则和规律之基础之上推导出来的。而广义逻辑悖论与狭义逻辑悖论的根本区别在于：导出悖论所依靠的背景知识和推导过 程能否有严格的逻辑语形、语义上的描述，其推导的合理性是建立在“知觉合理性”之上， 还是建立在严格的逻辑推敲之上的。在大体了解狭义逻辑悖论与广义逻辑悖论之后，我们能够对悖论的逻辑性等性质有一定 的认识。第三章 悖论的分类及其产生原因3.1 悖论的分类悖论可以根据与其相关的或所涉及的内容、概念等来分类

8、，大体可分为语形悖论、语义 悖论、语用悖论等。3.1.1语形悖论3语形悖论又可称为逻辑-数学悖论。此种悖论不涉及具体的研究内容，而仅仅与元素、 类或集合、属于或不属于、基数与序数等我们经常接触到的数学中的概念相关。这些悖论能 够用符号逻辑体系中之语言作表述,并且仅出现于数学研究之中。主要的语形逻辑悖论有布拉 里-费蒂悖论、康托尔悖论、罗素悖论以及理发师悖论等。下面我们就举出两个语形悖论的经 典实例。（1）首先我们来讲述布拉里-费蒂悖论，它与集合论知识中的良序集合的概念有关。在 集合论的知识框架之中，有如下三个定理：1.每一个良序集都必然有一个序数。2.所有的由序 数构成的集合，若按其序数大小进

9、行排序，其必定为一个良序集。3.所有的小于等于 a 的序 数总体集合所构成之良序集合，它的叙述肯定为a+1。根据Cantor集合论的概括规则可知， 由全部的序数可以直接构成一个良序集合，这个集合的序数为D,那么由此推出D亦应包含 在这一个良序集合之中。而根据定理3, D+1也是这个良序集合的序数。由于D+1大于D， 所以D就不能作为这一个良序集合的序数了，此时就得出了一个矛盾。此悖论是针对Cantor 集合论中对于序数集是一个良序集的推断而来的。悖论的产生原因在于Cantor在集合论定义 之初，并未明确指出相容集与不相容集的区别。（2）罗素悖论。这个悖论是在朴素集合这个范畴之内的，是一个经典悖

10、论。根据集合论 中的概括原则，设性质P（x）表示“x不属于x”，那么我们假设现有一个类A是由P而确定 的一一即“A=x|x A”。那么由此产生了一个问题：AWA成立吗？首先，若AWA,则A是 A的元素，那么性质P必然适用于A，由性质P知A不属于A；其次，若A不属于A,也就是 说A具有性质P，而A是由所有具有性质P的类组成的，所以A属于A。此悖论在集合论刚刚 提出几十年的时刻，引发了第三次数学危机。后来，人们用公理化的集合论对集合加以一定 程度上的限制，从而克服了罗素悖论。对于罗素悖论的解决，我们之后可以罗素悖论的等价 形式一一理发师悖论为例子作答。3.1.2语义悖论语义悖论并不是纯逻辑或纯数学

11、的悖论，而是和心理学层面或语义层面上的悖论，可能 涉及到的概念有意义、指称、定义、命名、断定、真假等，他们之中多数并不是产生于数学 或逻辑学的层面，而是产生于心理学层面，是由于在认识过程之中对上述概念的理解出现混 淆、含混不清等情况，正是由于对概念的理解偏差而非定义不全或不准确，导致了语义悖论 的产生，它的解决途径一般为明确对定义的认识，在此基础之上再进行科学的、有逻辑性的 推理，从而得出合理的解释，解决悖论的产生原因和存在的某些矛盾。现在，我们对以下几 种语义悖论做一些介绍和理解。（1）说谎者悖论。说谎者悖论的描述是简单而多样的，它的起源可以追溯到公元前 6 世纪的希腊，当时有一个克里特岛人

12、埃匹门尼德说：“克里特岛上的说有人都说谎。”，那 么我们经过推理可知，这句话为真，则推出这句话为假；反之，这句话为假则推出这句话为 真。当然，“所有人都说谎”自身也存在语义含混的可能，那么如果用最贴切的方式来表述 说谎者悖论，就是构造出这个“说谎者”，并用最简单的逻辑语言来表述悖论的过程，即： 有一个人说：“我正在说的这句话是假话。”由此我们可以很清晰地推出矛盾，若这句话为 真，那么同时它为假；反之若这句话为假，则推出它为真。而说谎者悖论的最简表达形式为 （括号里的这句话是假的）。这种悖论的问题在于，对一句否定意义的话的指向自身的 否定本身就会产生“双重否定等于肯定”的效果，从而得出了“假假为

13、真，但是本身又为假” 的矛盾情况。（2）贝里悖论。贝里悖论是一种简洁而又深刻的悖论，如果用汉语来表达就是：“用 小于十八个汉字不能命名的最小整数。”上面这个长词汇本身的长度为 17 个字，少于 18 个 字，但是根据字面意思，该词汇所描述的数字不可能被17 个字所描述，由此我们得出了一个 问题：这个，或这类整数，到底能不能被17 个字命名？在回答这个问题的过程中就产生了矛 盾，若可以命名，那么“不能命名”这个说法本身就是错误的，这个数字的定义也就站不住 脚了；若不可以命名，那么它的确已经被命名了。其实这种悖论的问题就在于，对“命名” 一词的理解混淆，对语文上的命名和专业知识上的命名没有给予充分

14、的区分而将之混为一谈， 两类命名方式本身就存在着所用字数不同的现象，在两个不同的标准下，是无法同时用两个 标准衡量一切对象而得出完全相同的结论的。3.1.3 语用悖论语用悖论，我们通常又把它称为认知悖论。顾名思义，这一类悖论其实是由于我们对一 个语句的产生语境以及具体用词的含义的认知偏差、以及语句的背景知识的认识不到位而产 生的矛盾。这一类悖论与相信、怀疑、知道、犹豫这一类语用概念以及真、假等语义概念有 关。并且，允诺、答应、命令、希望等一些用于指导行动的话语，也是此类悖论的重要组成 元素。一个简单的例子就是：某指挥官发布了唯一的一条命令：不执行这项命令。那么由此 我们就会提出一个问题：到底要

15、不要执行该命令？如果要执行，可以推出不执行；如果不执 行，实际上我们已经执行了这项命令。这就是由语境、认知等问题产生的悖论。此类悖论主 要有知道悖论、突然演习悖论等。（1）知道悖论。此悖论源于中世纪，最早是由著名哲学家苏格拉底所提出。苏格拉底： “我只知道一件事，那就是我其实什么都不知道。”这句话是一句富有哲理的、有学习精神 的话，然而，这句话本身也是一个悖论。从逻辑的角度我们会产生疑问：苏格拉底到底是一 无所知，还是知道一些东西呢？他的这句话使我们在严密的逻辑推理中陷入两难，由此出现 的矛盾，知道悖论由此而来。此悖论一般由两部分组成，A部分为肯定句，肯定了B部分， 而B部分为否定句，否定了A

16、部分，此悖论的矛盾产生原因正在于此。而对于知道悖论的原 文，也就是上面的苏格拉底的那句话，其实是我们对前后两个半句中“知道”一次的认知出 现了问题，两个“知道”的含义并不完全相同，所以我们建立在它们相同的基础上所推出的 矛盾是站不住脚的。（2）突然演习问题。二战期间，为加强国民的安全意识，瑞典广播公司播出了如下通报: 政府组织的防空演习将在下周进行，为防止因民众对演习有事先准备而导致的效果不好，这 次演习的具体日子不会对让任何人知晓，所以，这是一次突然的演习。瑞典的一位数学家爱 克玻姆意识到，这个通报其实有一种特殊的性质:按通告所给出的各项要求与条件，演习不可 以在下周日举行，否则人们将会在周六的晚上提前知道演习在周日，从而这个演习就不是突 然演习了，因此，周日的可能性被排除；同理，周六的可能性也可排除。依次递推可将每一 天的可能性都排除。爱克玻姆由此推出，若演习发生，则演习必定是