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1、育才教育育才教育学科教师辅导讲义讲义编号_ 年 级：初三 辅导科目：数学 课时数：3 学科教师：冯老师 课 题圆的综合汇编授课日期及时段2012年12月8日教学目的1、掌握圆的有关概念及其性质，并能够灵活进行应用2、能够应用简单的基础知识进行知识的综合应用教学内容知识要点第一部分： 【圆的知识点复习】1、圆有关的公式： 周长： 面积 弧长 扇形面积2、圆的有关概念：（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点为圆心，定长为半径。同心圆：圆心相等、半径不同的两个圆。 等圆：半径相同、圆心不同的两个圆。圆既是轴对称图形（经过圆心的任一条直线都是对称轴），又是中心对称图形
2、（圆心是对称中心）。（2）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角（3）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧3、点与圆的位置关系：点与圆心的距离为，则点在直线外；点在直线上；点在直线内。4、圆的确定： 确定圆的基本条件：（1）圆心确定圆的位置（2）半径确定圆的大小确定圆的方式：（1）已知圆心的位置与半径的长度（2）已知直径及其位置（3）不在同一直线上的三点注：锐角三角形的外心在该三角形的内部 直角三角形的外心为斜边的中点 钝角三角形的外心在该三角形的外部5、圆的有关性质：（1）圆是轴对称图形；
3、其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心（2）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；900的圆周角所对的弦是直径（3）圆心角与圆周角的关系：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的国心角的一半6、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条优弧（或劣弧）、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组相等，那么他们所对应的其他三组量也分别相等。运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理及推论的注意事项（1）条件“在同圆或等圆中”
4、不能丢，它是等弦、等弧的必不可少的大前提（2）弦所对的“弧相等”，指的是“弦所对的劣弧与劣弧、优弧与优弧相等”定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等7、垂径定理及推论：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧1、如果圆的一条直径垂直于圆的一条弦，那么这条直径平分这条弦，并平分弦所对的两条弧。2、如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于弦，并平分弦所对的两条弧。3、如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦。4、如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线
5、必经过圆心，并平分这条弦所对的弧。5、如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并垂直于这条弦。6、如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并平分这条弦。注：在圆中，当一条直线：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的弧（包括优弧和劣弧）.在这四种关系中，只要有两种关系成立，则其余两种关系也成立。其中当（1）（3）成立时，注意只有在这条弦不是直径的情况下，才有（2）（4）成立。：第二部分： 【直线与圆的位置关系】一、 直线与圆的位置关系的定义及有关概念：1、相交、相切、相离直线与圆的位置关系：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆
6、 。 当直线与圆有一个公共点时，叫做直线与圆 。这时直线叫做圆的 。 当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆 。这时直线叫做圆的 。2、直线与圆的位置关系的性质和判定。设O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d（1）直线l与O相交 ；（2）直线l与O相切 ； （3）直线l与O相离 ； 3、切线的性质定理：（1）文字语言：圆的切线垂直于过切点的半径（2）符号语言：直线l切O于点A，lAO4、切线的判定定理：（1）文字语言：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 （2）符号语言：OAAB，A在O上，AB是O的切线。说明：一条直线只有同时满足上述定理中的两个条件时，才是圆的切线，千万不要只
7、凭一个条件就判定一条直线为圆的切线。5、切线的判定方法。判定切线有三种方法：（1）与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。（2）和圆心距离等于半径的直线是圆的切线。（3）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。说明：在证明切线的过程中，有时需添加半径有时需添加垂线段，简记为：（1）“连半径，证垂直”（2）“作垂直，证半径”第三部分： 【圆与圆的位置关系】1、圆与圆的位置关系：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆 。两个圆有唯一的公共点，并且除去这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆 。这个唯一的公共点叫做 。两个圆有两个公共点时，叫做这两
8、个圆 。两个圆有唯一的公共点，并且除去这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆 。这个唯一的公共点叫做 。两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆 。当两个圆的圆心重合时，称它们为 。2、如果两个圆的半径长分别为、，圆心距为,那么两圆的位置关系可用、和之间的数量关系表达 两圆内含： 。 两圆内切： 。 两圆相交： 。 两圆外切： 。 两圆外离： 。3、相交两圆的连心线垂直平分 。4、相切两圆的连心线经过 。第四部分： 【多边形的外接圆】如果一个圆经过多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做圆的内接多边形 注意：多于三边的多边
9、形不一定有外接圆 正多边形的中心角的度数=正多边形常用的计算公式：设正n边形的中心角、半径、边心距、周长、面积分别是、和，则：（1）正n边形的内角和是 （2）正n边形的内角是 ，即 （3）正n边形的外角是 （4）正n边形的对角线的条数是 第二部分 习题演练题型一：圆的有关概念及其性质6.在研究圆的有关性质时，我们曾做过这样的一个操作“将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合”。由此说明：（ ） （A）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心；（B）圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴； （C）圆的直径互相平分； （D）垂直弦的直径平分弦及弦所对的弧
10、题型二：点与圆的位置关系17在RtABC中，C=90，AC=5，BC=8，如果以点C为圆心作圆，使点A在圆C内，点B在圆C外，那么圆C半径r的取值范围为. 题型三：垂径定理的应用14. 点是O上两点，点是O上第14题的动点（与不重合），连结xyCBDAOE(图七)过点分别作于，于，则18如图七，直径弦于点，设,，用含的式子表示运动的弦和与之垂直的直径的大小关系18如图，O的半径是10cm，弦AB的长是12cm，OC是O的半径且，垂足为D，CD=CBEODA17如图3，是的直径，弦于，如果，那么的长为ABDC15铲车轮胎在建筑工地的泥地上留下圆弧形凹坑如图所示，量得凹坑跨度AByxOPA为80c
11、m，凹坑最大深度CD为20cm，由此可算得铲车轮胎半径为 18. 如图，在平面直角坐标系中点，以为圆心，长为半径作，则截轴所得弦的长是 16如图，水平放置的圆柱形油桶的截面半径r = 4，油面（阴影部分）高为， 那么截面上油面的面积为（答案保留及根号）ACDFOBE16如图，O的的半径为3，直径AB弦CD，垂足为E，点F是BC的中点，那么EF 2+OF 2 =题型四：直线与圆的位置关系13. 已知点P是O外一点，PA切O于点A，PO 与O交于点B，PA=，PB=2，则O的半径r=.17在RtABC中，C =90，A=30,AB = 8，如果以点C为圆心的圆与边AB相切，那么C 的半径长等于14
12、O的直径为，圆心O到直线的距离为，则直线与O的位置关系是(图二)题型五：圆与圆的位置关系2右图二是一个“众志成城，奉献爱心”的图标，图标中两圆的位置关系是（）（A）外离； （B）相交； （C）外切； （D）内切 5已知两圆的半径分别为2和4，圆心距为6，那么这两圆的位置关系为 ()A、外离 B、相交 C、内含 D、外切BCDA6. 如图，在梯形中，则分别以、为直径的与的位置关系是（）A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切6如果两圆的半径分别为3cm、7cm，圆心距为6cm，那么两圆的位置关系为（） （A）外切； （B）相交； （C）内切； （D）内含3A半径为3，B半径为5，若两圆相交，那么AB长度范围为（）（A）3AB5 （B）2AB8 （C）3AB8 （C）2AB5 18如图2，三个半径为1的等圆两两外切，那么图中阴影部分的面积为15已知的半径为3，的半径为2，若与相切，则、的距离为.17、已知和的半径分别为3cm和5cm，且它们相切，则圆心距18相交两圆的公共弦长为16cm，若两圆的半径长分别为，则这两圆的圆心距为18已知圆与圆相切，圆的半径长为3cm，=7cm，那么圆的半径长是.ADCBOFE题型六：圆与正多边形17若正多边形的中心角为200，那么它的边数是若正六边
