气体动理论基础

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1、气体动理论基础（二）上节课回顾:一、 理想气体的状态方程：PV RT，适用条件1）、理想气体；2）、 平衡态理想气体的状态方程也可表示为P nKT，因此，在标准状态下（P 1atm,T 273.15K），任何气体（不管结构如何）的分子数密度 n相同。二、 理想气体的压强公式：P=-n_。1）、式中=丄口,为气体分子平32均平动动能，是一个统计平均值；2）、压强具有统计平均意义。三、 温度与平均平动动能的关系：一 = |kt , 1）、T也有统计平均的意 义。2）、 与气体分子的种类无关，只与T有关。3）、对单原子分子k =（只有平动）；对二原子以上气体分子，只是:的一部分。四、方均根速率：JV

2、2 J（3KT f3RT 1.73、旦。1）、对同类气体分 m 斗 M moi m子，方均根速率之比就是JT之比；2）、在T 一定的情况下，方均根速率之 比就是一1 之比。:M mol五、能量按自由度均分原理：在平衡状态下，由于气体分子无规则运 动的结果，任何一种可能的运动（平动、转动、振动等）都不比其它运动 更占优势，且无论哪一种运动来说，相应于每一个可能的自由度平均动能都相等，且为1 KT。对理想气体分子而言，气体分子的平均总动能一二丄kT2 2对单原子气体分子：=3kT=_2对双原子气体分子：=5kT2对三原子或三原子以上气体分子：-=6kT = 3kT2思考题：在标准状态下，总质量为M

3、= 0.5kg的氧气的平均平动动能是多少？平均总动能又是多少？(在标准状态下，P=1atm, T=273.15K)解：注意区分氧气和氧气分子。氧气的总分子数N=M；N0 ;总平均平 动动能W N 3kT ；平均总能量E = N5kT。)2 2六、理想气体的内能实验证实，一般气体中，分子与分子之间存在着一定的相互作用力， 因此具有一定的势能。气体分子的动能量及分子与分子间的势能构成气体 内部的总能量。称为气体的内能。对理想气体来说，不计分子与分子之间 的相互作用力，故理想气体的内能只是分子各种运动能量的总和。根据理想气体内能的定义：每一个理想气体分子的平均总动能量-二丄KT，因此2单位体积内理想

4、气体分子的内能En n丄KT(8 1)21mol理想气体分子的内能 Emol No-KT丄RT; (82)2 2卩mol理想气体分子的内能E二卩丄RT。(83)2(8 )式表明：理想气体的内能在温度一定时，与分子结构有关(T C,E(i);而对于给定的某种理想气体(,i 一定),其内能完全取决于 气体的热力学温度E仃)。这一结论是与“不计气体分子之间的相互作用力” 的假设一致的。所以，有时把“理想气体的内能是温度的单值函数”这一 性质，视为理想气体的另一定义。在理解气体内能时应注意的问题：气体的内能与力学中的机械能的区别：气体的内能是分子热运动的能 量，它是物质的微观运动形式，机械能是大量气体

5、分子组成的宏观物体与外界物体发生宏观的相对位移时的能量。是物质的宏观运动形式。例: 装有大量气体分子的容器静止在地球表面上时，大量气体分子构成的物体 的机械能为零（选势能零点在地球表面）。但物体内部的分子仍然在运动着 和相互作用着，内能永远不会为零。4022、在标准状态下，若氧气（视为刚性双原子分子的理想气体）和氦气的体积比V 1，求其内能之比。V22解：注意是求氧气和氦气的内能之比，氧气和氦气是大量气体分子构成的宏观物体。在标准状态下意为两气体的P,T相同，由理想气体的状态方程PV RT，誥舞，所以V； 土 1。故有：E；2泸5063、当氢气和氦气的压强、体积和温度都相等时，求它们的质量比

6、和内能比。解：由理想气体的状态方程PV RT ， H2 He，HeH 2 M mol (H 2)He M mol (He)2 2；所以质量比等于摩尔质量比-RT2知:EH 2EHei H 25i He3七、Maxwell分子速率分布定律处于平衡状态下的一种气体，各个分子各以不同的速率沿各个方向运 动着，前面提到的.v2及V只是分子速率的一种统计平均值，且由于互相 碰撞，每个分子的速度大小和方向也不断地变化， 有时v . v2，有时v . v2，因此，个别分子的运动情况完全是偶然的，是不容易且不必要掌握的，然而，从大量分子的整体来看，在平衡状态下，分子速率却遵循着一个完全确定的统计性分布规律。有

7、关规律是 1859年由Maxwell应用统计概念首先 导出的。怎样研究平衡状态下气体分子速率分布情况呢？可把速率分成若干 相等的区间，如0 100m/s;100m/s-200m/s，所谓研究分子速率的分布情 况，就是要知道，气体在平衡状态下，分布在各个速率区间之内的分子数， 各占分子总数的百分率是多少。为了便于比较，将各区间取的相等，从而 知道，大部分分子分布在哪一个区间之内，所取得速率区间愈小，有关分 布的知识就愈详细，对分布情况的描述也就愈精确。现约定：N气体总分子数N 具有v v v速率区间内的分子数（在平衡状态下,v取不同值，N不同，因此 N（v）丄 具有v v v速率区间内的分子数占

8、总分子数的百分N比。（也可理解为某一分子具有的速率值恰好在 V V V区间内的几率）一一某单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比。这一 N v百分比可用来说明气体分子按速率分布的规律。不同的速率区间，N不同,故一巴也不同。N vMaxwell指出：在热力学温度T时，处于平衡态的给定气体中，某单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比N，可用下式表示:N v2Nm m 竺=4 （）2e 2kT v2（9）N v2 .kT给定气体意味着m为定值，平衡态意为T 一定，因此3 mv24 (卄討严2中只有v为变量即4m2 .kT3mv22 2kT 2)e v = f(v)因此，不同的v，f(v)不一样，

9、就表明v附近单位速率区间内的分子数占 总分子数的百分比不一样。上式称为Maxwell分子速率分布函数。由此看出，f (v)实质就是单位速率区间内的分子数占总分子数的百分 率。所以，f(v)的数值是大是小，就表示在这一单位速率区间内的分子数 是多是少。例：f (50) f (200)就表明N个分子中，具有200m/s速率的分子数占总 分子数的比率大于具有50 m/s速率的分子数占总分子数的比率。f (v)定量 地反映了给定气体的分子在温度 T时按速率分布的具体情况。若以v为横坐标，f(v)为纵坐标，由(9)式可得平衡态下气体分子 速率分布的直观图像。教材(赵)P209页图6.5(a)、(b)把在

10、平衡状态下气体分子速率的分 布情况通过一个个小矩形大致地反映出来了。图(a)中任一小矩形面积为 f(v) v ，表示在速率区间v v v内的分子数占总分子数的百分率N(见a、b图)。很显然，根据统计假设，所有矩形面积的总和且=1。N(即：所有小矩形面积之和)。为了把速率分布更细致地反映出来，应将速率区间尽可能取小，比如(b)图取的速率区间比(a)图小。当v- dv ( dv为一无限小量)，相应的分子数为dN。这时的速率分布曲线为一条平滑的曲线。如图6.5 (C)所示。速率分布曲线下的总面积：/f （v）dv就表示分布在0 f o整个速率区间内的全部百分比之和，应有：0 f（v）dv 1。这称为

11、分布函数f（v）的归一 化条件。由P 211页图6.7 （本图（b）知：具有很大速率和很小速率的分子数较 少，因为对应于速率很大或很小时的f（v）小，表明在v附近单位速率区间 内的分子数占总分子数的百分比小。具有中等速率的分子数百分率却很高。2、最可几速率（最概然速率）P211 （赵）图6.7曲线上（见本图（b），有一最大值，与其对应的速 率vp称最可几速率（教材称为最概然速率）。其物理意义可从两个角度考虑（1）对大量分子N而言，在一定温度下，气体分子在含有 Vp的那个单 位速率区间内的分子数占总分子数的百分比最大。（2）对个别分子而言，按概率表述为：某一分子的速率取含有 Vp的那个速率区间内

12、的值的概率最 大。根据Maxwell分子速率分布定律，可求得 Vp。Vp为f（v）的极值，令 业0得：2kT:2RT 141/m Mmol. VRTpMmoldv(10)v3、不同温度下分子速率分布情况教材P212图6.8 （本图（c）图）表明的是同一气体在不同温度下（73k,273k,1273k）的 Maxwell气体分子速率的分布情况，我们注意到，当 温度升高时，气体分子的速率普遍增大，整个曲线右移。Vp增大了，f（v）的 最大值减小了【f （V）的最大值减小表明：总分子数中具有与最可几速率值 接近的分子数减少】。但图中曲线下总面积是不变的。所以，分布曲线在宽 度增大的同时，高度降低，整个

13、曲线将显得平坦些。4、不同质量的气体分子速率分布从Vp的表达式Vp J2kT知，当T 定时，m，Vp 。赵图6.9表明，V m在T 一定时，不同种类的气体，随着气体分子的质量增大，速率分布曲线 中的Vp向量值减小的方向迁移，所以，分布曲线宽度变窄，高度增大，即 曲线随分子质量变大而左移。5、比较三种速率按统计的观点，平均速率v VV2，根据Maxwell分子速 率分布定律，也可求得v :v vf(v)dv ：m.8RT 1.60 RT M molMmol量（6）前面介绍的方均根速率.V2，MRmT.3mT焙比较（6）、（ 10）、（ 11）知.打最大，V.次之，Vp最小。若在图中定 性画出三个

14、速率值，应以Vp为基准，向右大致画出V, V2。V这三种速率就不同的问题有各自的应用，如在计算分子运动的平均距离时，要用到V，在讨论速率分布时，要用到 Vp，在计算分子的平均平动动能时，则要用到、孑。4560、图示为氢分子和氧分子在相同温度下的Maxwell速率分布曲线,求氢分子和氧分子的最可几速率。M mol (。2 )VP解：2RT M mol由于Mmol(H2)，在T 一定的情况下，氧分子的最可几速V率要小于氢分子的最可几速率所以氧分子的最可几速率为1000m/s，由Vp2RT可算得氢分子的最可几M mol八、分子碰撞和平均自由程19世纪后半期，当从理论上揭示气体分子以每秒几百米的平均速

15、率运 动这一结果时，曾引起物理学家很大的怀疑。因为理论上表明，气体中的 一切过程应进行的很快，但事实并非如此，例打开香水瓶后，香味要经过 几十秒才能传过几米的距离。又如：气体的混合（扩散过程）进行的相当 慢。最后，德国物理学家可劳修斯指出，气体分子速度虽很大，但在前进 中要与其它分子作很多次碰撞，所走的路径非常曲折。所以从一处到另一 处需较长的时间。研究分子碰撞是气体分子运动论的重要问题之一。气体分子在任意两次相继碰撞之间，每个分子自由走过的路程称为自由程。对个别分子，由惯性支配的自由程时长时短，并没有一定的量值， 但在给定的气体状态下，由于大量分子无规则运动的结果，分子自由程遵 从完全确定的统计分布规律。我们可采取统计平均的方法求出一秒钟内一 个分子和其他分子碰撞的平均次数 平均碰撞次数 z，以及每两次碰撞 间一个分子的