《正态分布和寿命问题的建模》由会员分享，可在线阅读，更多相关《正态分布和寿命问题的建模（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、误差问题的建模-正态分布的建立正态分布模型最初是由高斯（Gauss ）在研究误差理论时建立的。对随机变量的高斯假定设X是可由物理手段测量的随机变量，卩是X的稳定值（理想化的取值），则X =+ 8，并称8= X -卩为测量误差.对测量误差8 的统计建模记误差8的概率密度函数为f（8 ），求f（8 ）的解析表示.设对X进行n次独立观测，可得误差8的样本8 = x p, i = 1,2 ,A , n，ii显然f （8 ） = f （x p）中含未知分布参数P.ii讨论未知分布参数P应满足的条件.由于8 ,8 ,A ,8的联合概率密度为i 2 nL(8 , 8 , A , 8 ； P)=打 f (X
2、p).1 2 nii=1根据最大似然法的思想，p的值使L最大，以最有利于样本X1,X2，A ,xn的出现，故p应满足dLdp进而d log LXdp八 xip)=0f ( x p)i记九(S )二 f ) f (S )，则i下面分析九(S)的性质.将未知常数卩的测量值的平均值用X二1工X替代，令 nii=1工九(x 一 X)=工九(S ),iii=1i=1由，G(S ,S ,A ,S ) = 0 .1 2 n又因为x - nx = 0，故n个变量S ,S ,A ,S的自由度为n一1，令 ii12 ni=1i=1s =(s +s + A +s )n 12n 一1对式微分，并注意式的影响，得dGd
3、GdG dy=+ ndsdsdsdsiini亦即表明从而进而ni = 1,2,A , n ，d九(s )i = Cdsi常数)，九(S) = cS + b ( b为常数),G(s ,s ,A ,s ) =12 n+ nb ，i=1由工 = 0可知b = 0，于是ii=1解方程得f C) = ke 2c2, k 为常数.为使f( )为概率密度函数,j+sf (e )de 二 1,gk j+g e 2c2 dy 二 1,g故必须c 0)，代入解得k = 2=-f2兀b于是1 二f (e) =e 2- 2， e G R，yllRbe N(0q2).对建模方法的简单评价高斯的建模推理过程从严格的逻辑学
4、意义上讲是有瑕疵的。用X二1 x替代卩涉嫌nii=1循环论证。但随后的概率极限定理的研究表明，高斯的结论是正确的。引伸设XN(0,- 2)，通常X表示测量误差。在各种各样的“跟踪”与“距离”问题中,人们关心的另一个问题是由对目标的空间坐标的观测误差导致的目标相对观测原点的距离的随机误差。与此问题有关的模型有：(1) (一维)反射正态分布设 X N(0Q 2)，则 U =、:X2 - EN(b 2).(2) (二维)瑞利分布设X,Y N(0q 2)且独立，则U =2 + Y2 Ra(o 2).(3) (三维)马克斯威尔分布设X,Y,Z N(0,b 2)且独立，则 U .-X2 + Y2 + Z2
5、 Max(b 2).(4) 二维场合极坐标的分布X 二 R cos 0设 X, Y N(0,1)且独立，令 ，则 R Ra(1), 0 U (0,2k ).Y = R sin 0(5) 累积误差的分布(平方累积) X N(0Q 2)，则 Y = X2 -Ga(D ).2 2b 2 X N (0,1)，i = 1,2, A , n 相互独立，则 X = X：咒 2(n) ( Ga( n,2)i=1(6) 相对误差(误差的比率)的分布 柯西分布XX, Y N(0,b 2)且独立，则 Z = Y c(0,1). 贝塔分布迟XX N (0,b 2)， iim ni = 1,2,A , m + n且相互
6、独立，则X =科 Be(,). 少n X2 2ii=1 t 分布X N(0,1)，iXi = 1,2,A , n +1 相互独立，则 X =t(n).11Y X 2n k1Vk 丰 i寿命问题的建模指数分布，威布尔分布，对数正态分布和重指数分布的建立1、可靠性的概念元件e的可靠性一即元件e在一段时间无故障工作的概率(或无故障工作的平均时间长 度).2、寿命的概念元件e的寿命一即元件e从t二0启动到 0 首次发生故障，称工为元件的寿命.3、寿命分布与可靠性分布T是一个随机变量，定义p的分布函数(寿命分布函数)F(t) = P(t 0).元件e的可靠性函数(0,t中无故障工作的概率)G(t) =
7、1 - F(t) = P(t t)F (t) + G (t) = 14、故障的分类(1) 开始故障一元件e工作初始阶段(磨合)(2) 随机故障一元件e正常工作阶段(偶然因素)(3 )衰老故障一元件e工作的后期(寿命限制)5、寿命分布的求法(1) 统计方法拟合(归纳法)(2) 物理特性分析(演绎法)6、寿命分布的物理特性分析方法建模的核心概念一故障率x (t)(可靠性的 核心指标)设元件e在0, t中无故障，求t, t + At中发生故障的概率为F(t, t + At), At 0.F (t, t + At) = P (t t t)_ P(t t t)_ F (t + At) - F (t)=1
8、 - F (t)假定 f (t) _ F(t), g(t) _ G(t)，则F (t，t + At) _ 1) At + 皿)f (t)1 - F (t)g(t)_-丽为元件e的故障率(注意f (t) _-g(t)即若元件e在0,t内正常工作，则在下一个单位时间内(单位长度At很小)发生故障 的概率近似为九(t).设 p(t) 连续，则ft 九(t)dt _0dt即 log G(t) - log G(0) _ -t 九(t)dt0G(t) _ G(0)e：入()dt由于 limG(t) _ 0，故 js九(t)dt = gt s0若F(0) _ 0 (注.元件e出厂时是好的)则G(0) _ 1
9、，则G(t) _ e-j0入(t)dd (寿命问题中可靠性函数的一般形式)7、故障率九(t)的确定九(t)可通过实验近似求得，设有n个元件参加寿命测试，记n(t)为0,t内未出故障的元件数，则Mt) . G(t) - G(t + At)At - G (t)n(t)nn(t ) n(t + At )u (- nnn(t) - n(t + At)At - n(t)n(t) n(t + At) t,t + At内故障元件数.At - n(t) 0, t 无故障数.8、几种常见可靠性函数指数分布 九(t)=九(九为常数)威布尔分布 九(t)二a九ta-1 (a 0,九0)(3)伽玛分布/、ta-ie-兀小 ac、X (t) ( a 0,九0)J s x a-ie -Xxdxt(4)重指数分布九(t)二ae E (a 0,卩0)
