《电线架设问题全解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《电线架设问题全解（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、电线架设摘要随着国民经济的高速发展，供电区域的扩大，电线杆已经成为供电、通讯等 重要重要的基础设施之一，电力网遍布城乡各地，由于山区地形复杂，电线架设 规划问题在电网建设中具有十分重要的意义。问题1 主要是通过分析等高线图了 解该地区地形；问题 2 用插值拟合的方法拟合出该地区的三维地形图；问题三主 要应用 flyd 算法求的最短路径。然后分段求得所植电线杆的位置。针对问题 1，由所给的该地区的等高线图，我们根据等高线的数值大小走向 得到该地区有两个凹地，南方有山脊，东南方有山谷；又根据等高线的疏密程度 分析出西北坡缓、北坡和南坡较陡，山顶较为平坦。针对问题 2，我们由 figure(1).m
2、at 文件中所给的数据，利用 matlab 软件 我们将该地区划分为步长为100m的网格，利用插值拟合的方法得到各个网格节 点的海拔高度，再用三维画图得到了该地区的三维网格图像，并求得 A、B、C、 三点的海拔高度，在该地区的网格图像中标出了三点位置，发现 A、C 两点都位 于山坡大概山脚的位置， B 点位于山顶的凹地中。针对问题 3，我们从两个方面考虑，即寻找最短路径和在合适的位置植入电 线杆，在山中假设电线杆受山体高度的限制，针对最短路径的选取我们选用了 floyd算法对该问题建立了最短路路模型，人工干预后分别得到A到B和B到C 最短路径经过的各个点的位置坐标，再分别将两段最短路径划分为几
3、段，求各段 仰角，然后依据限制条件植入电线杆，经计算最后共需要植入 143根电线杆，最 后求得电线杆所在点的坐标。在本题求解过程中，我们所建立的模型与实际紧密联系，有很好的通用性和 推广性。但是在求最短距离时，步长值取得比较大，从而使得误差增大，或者使 电线杆的位置不精确。关键词：数学建模 电线架设 插值 Floyd 算法 分段求解 Matlab1 问题重述1.1 背景资料电线电缆被誉为现代城市的“神经”和“血管”，这一行业肩负着为各行各 业国民经济支柱配套的职能，电力、通信、铁路、轨道、城市交通、船舶、汽车、 石油化工、建筑、公路、家电等产业对电线电缆的需求越来越大，而且电线架设 难度大、费
4、用高，尤其是山区，由于地形的原因难度费用更加大，电线架设的规 划能在很大程度上减少费用、减少难度。也变的越来越重要。1.2 要解决的问题1. 已知山区平面等高线图形，利用所学的一些地理知识对此山区地形进行初 步的分析，叙述此地区的大概地势走向。2. 已知的平面等高线利用 matlab 软件绘制较精致三维的地形图，并在图中找 出 A、 B 、 C 三点，能够更加清晰直观的了解此山区的地形和三点所在的位置。3从实际情况出发，mtlab软件建立最优化模型，找出A点到B点再到C点 的最短距离及电线杆的位置。1.3 限制条件1. 电线杆的有效使用高度为8m。2. 相邻电线杆间距约为50。3. 要求电线离
5、地面至少2米，必要是可以增设电线杆。【数据文件说明】figure(1).mat 文件为地形图相关数据。2 问题分析此问题针对电线架设的规划，在问题1中。对给定的平面等高线图，分析了解此地区的地形走势。在问题2中，利用已知的平面等高线编写matlab程序， 绘制较为精确的地形图。问题3中，根据实际情况，针对地形走势，建立最优化 模型与算法，找出最短路径。2.1 问题 1 分析通过对等高线图的分析我们能大致了解该地区的地形走势，为之后问题的解 决打下初步基础。利用给出的等高线图，分析等高线的疏密程度，了解地形的坡 度的缓陡，再根据等高线数值大小的变化分析出山顶与洼地，根据疏密了解其相 关特点。分析
6、等高线的凸出部分可以找出山谷及山脊。2.2 问题 2 分析利用已知的x、y、z值。取合适的步长值得到ex、cy。通过ex、cy的关系 利用插值(griddata)的方法求的cz。然后画出ex、ey、cz的网格图，标出X、 Y、 Z 轴，即可得到该地形的三维地形图。2.3 问题 3 分析 问题三属于模型优化问题，一般优化模型我们选用 lingo 软件，但是此题中所用 数据太大，所以我们选用matlab中的floyd算法，题目中要求合理地架设电线， 并对电线杆做了一系列要求，针对要求1：相邻电线杆间距离约50m,利用了图论 中的floyd算法，分别求得A到B、B到C的最短路径，经过人工干预找出经
7、过的各店位置。根据所求解的最短路径，此算法不仅可求得两点间的最短距离还 可以记录下它的路径。要求2:电线离地面至少2m,通过计算夹角的正弦值，求得 夹角的临界值在程序中加以限制。继而利用插值算法，进行人工干预得出结果。3 问题假设与变量说明3.1 假设：(1).假设山上的高大树木和地质不影响电线架设。.假设所给的相关数据是真实可靠的。.不考虑数据处理过程中步长取值对结果的影响。.假设电线不浪费。(5).忽略电线因重力在空中弯曲的高度。3.2 变量说明：cza ： A、 B 段山体高度。(X,Y)：网格结点(i, j)对应的实际坐标。d ：距离矩阵。(i, j ,m,n)s :第k段的空间长度。
8、kb ：第 k 段可插入电线杆数。kc ：第k段相邻电线杆间的距离。4 模型建立与求解4.1 问题 1 的求解本区为山区，山地地形，假设此图上北下南，分析为：等高线密的位置坡陡， 稀疏的地方坡缓，故西北坡比较缓,北坡南坡相对较陡;山顶部位1400m和1500m 等高线尤其疏，间距较大，所以这是座平顶山，山顶较平坦。又因为山顶的闭合 等高线先变大后变小，海拔高度最小为1200m，所以山顶有一处凹地，挤有个坑； 同理，东南方500m闭合等高线处也是一处凹地，东南方向等高线向海拔高处凸 出，所以东南坡上有条集水线，即山谷，自山峰约东南方向等高线向海拔低处凸 出且较密集，故这是条分水岭，即山脊，并且较
9、陡。(画等高线图的程序见附录 1 ) .图1等高线线图4.2问题2的求解本题要求依据等高线画出较为精确的地形图，将题目中所给出的等高线图调 入 MATLAB 中得到数据，进而用插值的方法对数值进行细化，从而得到相对精确 的地形图。编写 matlab 程序（程序见附录二），求得图形为：2000.图2地形图4.3问题3的模型建立与求解4.3.1 模型思想首先分段计算最短距离，即分别求得A到B、B到C的最短路径，我们主 要采用的是floyd算法（Floyd-Warshall算法，简称floyd算法，用于求解任意两 点间的最短距离，时间复杂度为0（3）。Floyd-Warshall算法不仅能求出任意两
10、 点间的最短路径，还可以保存最短路径上经过的结点。），人工干预后找到最短路 径经过的各个结点。在植入电线杆时，我们也分段插入，考虑到题目中要求电线杆的有效使用高 度为8m，相邻电线杆间距约为50m，要求电线离地面至少2米，所以首先计算出电线距离地面2米时的临界坡度arcsin3/4,计算出每段的坡度和临界坡度比较。 在小于临界坡度的情况下计算出每段对应的距离，求出每段需要植入多少根电线 杆,最后计算出共需要多少电线杆和电线杆的坐标。4.3.2 模型建立 最短路问题：最短路采用 Floyd 算法求从山脚下村庄 A(500,500) 处始,经过山顶游览点 B(2000,2500)到达矿区C(500
11、0,4000)的最短路径，分两段既AB、BC两段分别求 最短路径。从起始点 A 到 B 由于山体高度变化，无法直接确定最短路径， Floyd 算法用 于搜索两固定点之间的最短路。A(500,500)，B(2000,2500)两点以100为步长值，分别取矩形的ab边及cd边 上的离散点的集合cxa及cya ,采用插值的方法得出cxaxcya中的点对应的山高 cza，该网格共有21 x 16个节点，令A点所在的行与列为(1,1)，点B所在的行与 列为(21,16)，如下图所示，则该矩阵中的第i行，第j列的网格节点的实际坐标 为：(X, Y)。首先，给出任意一个网格节点所在的行与列及其对应的实际坐标
12、之间的变公式：i = U +1100+1100(1)令d(i, j,m,n)为网格中(m,n)到(i, j)的距离，由于每个网格节点只能走到相邻网格节点，则(2)利用 Floyd 算法可求得最短路径经过的网格节点，同理可求得 B 到 C 的最短路 径经过的网格结点，利用公式(2) 可求得各结点对应的实际坐标( X ,Y ) 。 电线杆的架设问题：由表N可得在第k段的仰角为9 , 0 0 ,电线离地不会小于两米，第k段kk0的实际距离S .；Ax2 + Ay2 + Az2，每段可架设电线杆，b =金+1在第k 段上相邻两根电线杆间的间距进而可以求得电线杆的坐c =丄 标。k b -14.3.2
13、模型求解 k第一步：在问题2的基础上我们重新取步长值为100，并找出A、B、C三 点的位置，利用floyd算法先求得 A到B的最短路径，经人工干预找到最短路 径经过的各个节点为(编程中我们将(500,500)这个点话为了(1,1)点)：(1,1) T (2,2) T (3,3) T (4,4) T (5,4) T (6,4) T (7,4) T (8,4) T (9,4) T (10,5)T (11,6) T (12,7) T (13,8) T (14,9) T (15,10) T (16,11) T (17,12) t (18,13) T (19,14) t (20,15) t (21,16
14、)将上面各个点转化为实际坐标为：表1 A到B最短路径经过结点坐标表X1500600700800800800800y150060070080090010001100z1685750.9813.6880926.8980.71034.2x18008009001000110012001300y11200130014001500160017001800z110801114.21175.61132.61289.81347.61401.9x11400150016001700180019002000y11900200021002200230024002500z11449.51478.31450.91336.7
15、1212.41093.81074.2第二步：编写matlab程序(程序见附录3)在地形图中画出A点到B点的 路线，结果如下：图4 A到B最短路线图同理求得B到C的最短路径经过的各个节点为（编程中我们将（2000,2500）这个点话为了（1,1）点）：(1,1)t (2,2) t (3,3) T (4,4) t (5,5) T (6,6) T (7,7) T (8,8) T (9,9) T (10,10) t (11,11)t (11,12)t (11,13)t (12,14) t (13,15)t (14,16) t (15,17) t (15,18) t(15,19)t(15,20)t(15,21)t(15,22)t(15,23)t(15,24)t(15,25)t(15,26) t(15,27)t(15,28)t(15,29)t(15,30)t(15,31)从B点到C点的最短经过的各个网格结点的坐标见下表：表2 A到B最短路径经过结点坐标表xl20002
