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1、本科毕业论文（设计）题目 极限的求法及技巧The Method and Techniques of the Limit山东财经大学学士学位论文原创性声明本人郑重声明所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作 所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体 已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已 在论文中作了明确的说明并表示了谢意本声明的法律结果由本人承担.学位论文作者签名年月日山东财经大学关于论文使用授权的说明本人完全了解山东财经大学有关保留、使用学士学位论文的规定，即学 校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布论文
2、的全部 或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文.指导教师签名 论文作者签名年 月 日年 月 日极限的求法摘要求数列和函数的极限是数学分析的基本运算，而对极限的求法也是多种多样.本文首 先阐述了数列极限以及函数极限的定义，然后着重归纳分析了求解极限的各种方法，包括 四则运算求极限法则、利用函数连续性求极限、利用两个重要极限求极限是求极限的基本 方法，夹逼定理和单调有界定理是重要的定理，而洛必达法则求极限、利用泰勒公式求极 限方法等是针对某些特殊函数或数列的求极限方法，以及一些常用的求极限方法，总共归 纳了十三种求极限的主要方法，并针对每种方法作了详尽阐述，配以例题，对各种求极限 方法及技
3、巧进行了归纳总结，从而帮助我们掌握极限的求法.关键词极限；泰勒公式；函数连续性；夹逼定理；洛必达法则；The Method and Techniques of the LimitABSTRACTFor the sequenee and the limit of a function is a mathematical analysis of basic operation, Ultimate solution to a wide range. First described has series limit and function limit of defines, then focuses
4、 on antibody analysis has solution limit of several method, arithmetic begged limit rule, and uses function continuity begged limit, and uses two important defines begged limit is begged limit of basic method, clip forced theorem and monotone has defined acting is important of theorem, and L 1 hospi
5、tal rule begged limit, and uses Taylor formula begged limit method, is for some special function or series of begged limit method, and some comm on of begged limit method, Antibody in a total of 12 primary approaches to the limit.Keywords： Limit； Taylor formula； fdnction continuity； both sides clip
6、law； L 1 hospital rule目录弓丨言1二、极限的定义1（-）数列极限的定义1（-）函数极限的定义21. 当XTP时f（x）的极限定义22. 当XTS时f（x）的极限定义23. 当XT&时f（x）的极限定义24. 当XT石时f（x）的极限定义2三 极限的求法3（-）四则运算求极限法则3（-）利用函数连续性求极限4（三）复合函数求极限法则5（四）利用两个极限准则求极限51. 利用夹逼定理求极限52. 利用单调有界准则求极限6（五）利用两个重要极限求极限71. 当极限含有三角函数时72. 极限中含有幕指函数时7（六）利用洛必达法则求极限71. 9型未定式702?型未定式8003.
7、其他未定式形式极限9（七）利用等价无穷小因子替换求极限9（八）利用无穷小量的性质求极限10（九）利用导数的定义求极限10（十）利用定积分的定义求极限11（十一）利用泰勒公式求极限12（十二）利用函数极限求数列极限14（十三）利用拉格朗日中值定理求极限 14参考文献16极限是学习数学分析的过程中最基本的概念之一，极限是指变量在一定的变化过程中，从总的 来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的极限值极限的概念最终是由柯西和维尔斯特拉斯 等人严格阐述的而在现代的数学分析中，几乎所有的基本概念都是建立在极限概念的基础之上的， 例如连续、微分、积分.极限的求法是研究函数的一种基本的方法，学好极限在学习
8、数学分析的过程中具有重要意义. 本文首先阐述了极限的定义，分别叙述了数列极限的定义以及函数极限的定义，然后着重分析归纳 了求极限的方法，主要有四则运算求极限法则、复合函数求极限法则、利用两个极限准则求极限、 利用两个重要极限求极限、利用洛必达法则求极限、利用等价无穷小因子替换求极限、利用无穷小 量的性质求极限、利用导数的定义求极限、利用定积分的定义求极限、利用泰勒公式求极限、利用 函数的连续性求极限、利用拉格朗口中值定理求极限十二种方法求极限，在做求解极限的题目时， 必须要透彻清晰的明白以上方法所需的条件，同时细心分析，选择出适当的方法，提高做题的准确 率.在求极限的过程中，会经常发现一道题可
9、以运用多种方法求解，我们从中可以得到的其实是每 种方法之间都有一定的联系，特殊题型也有特殊方法求解，同时也可以利用变量替换，化简等方法 转变成另一种方法求解我们在解题时，四则运算求极限、函数连续性求极限是最基本的方法，洛必 达法则求极限、等价无穷小因子替换、两个重要极限求极限是常用的方法，但是等价无穷小因子替 换定理只能应用在乘除因式中，不能在和差中替换，而洛必达法则求未定式的极限只能在求9型和0coOs一型未定式时使用，其他形式的未定式求解需要转化成为求一型和一型未定式的形式，这都是我co0 co们需要注意的求极限必须在极限存在的基础下进行，根据不同的形式选择不同的方法，合理利用各 种计算方
10、法，或者可以进行适当的结合，以期能够准确、简单、快捷地求出答案.二、极限的定义(-)数列极限的定义定义1.1设aj为数列，d为定数.若对任给的正数总存在正整数N,使得当nN时有an-a vg则称数列an收敛于a,定数a称为数列an的极限，并记作linian = a 或 a(n s),nco读作“当n趋于无穷大时，a.的极限等于a或趋于a” .(二) 函数极限的定义1. 当xt+H(x)的极限定义定义1.2设f为定义在a,+s)上的函数，A为定数.若对任给的0,存在正数M(2a), 使得当xM时有|f(X)_TG则称函数f当x趋于4时以A为极限，记作lim f (x) = A 或 f (x) t
11、 A(x t +s)x-40 ,存在正 数M(a),使得当|x|M时有|f(x)_ a|vc则称函数f当x趋于s时以A为极限，记作lim f (x) = A 或 f (x) t A(x t +s)x-4co3. 当xtxKXx)的极限定义定义1.4设函数f在点冷的某个空心邻域U(x;5)内有定义，A为定数.若对任给的 0 ,存在正数5(C),使得当0|x-Xo|5时有|f(X)_T0,存在正数5（5）,使得当Xq-JxCOx-Kox- alimf(x)x-aABg(x) = lim f (x) lim g(x)=x-af(x)Imif(x)a,八心忍 g(x)limg(x) Bx-alim f
12、 (x) g(x) = lim f (x) lim g(x) = A Bx-ax-ax-a例求lim 7 2X-X-1q 十 疋一1 r (x+l)(x-l) r x+1 lim(x+l) 1 + 12解 lim二 Inn- 二 lim二= 二-kt】2x-x-17 (x-1)(2x+1)7 2x+1 lim(2x+l) 2 + 13X-1注 若lim f (x) = A , limg(x)不存在，则limf*g义 不存在也不为0； AhO ,则x-ax-ax-alimf * )g X ； lim空9均不存在.ga g(X)(二)利用函数连续性求极限定义2.1设函数f在某U(Xo)内有定义.若
13、lim f(x)= f(Xo)kt旳则称f在点况连续.为引入函数y= f(x)在点心连续的另一种表述，记Ax= x-xj.称为自变量x (在点冯)的増量或改变量.设y0 = f(Xo).相应的函数y (在点毛)的增量记为y= f(x)- f(Xo)= f(Xo + Ax)- f(xb)= y-y)注自变量的增屋或函数的增量可以是正数，也可以是o或负数.引进了增屋的概念后，易见“函数丫= f(x)在点观连续”等价于lim Ay = 0Ax-0结论 若函数f在观点连续，则函数f在心点有极限，且极限值等于函数值f(Xo).推广定理 设复合函数y =f|x)是由函数y = f(u) , 11 =災X)复合形成的，并且lim(p(x) = a,lim f (u) = f (a),KT%u-a则丫= f （傾x）在X=Xo点处的极限存在且lim f 傾x)= flim(
