熵垒条件下的布朗马达特性

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1、熵垒条件下的布朗马达特性摘要： 本论文研究了熵垒条件下以及双源噪声驱动下布朗马达的特性。首先我 们对分子马达和布朗马达进行了简介和对处理布朗马达问题的随机动力学的具 体问题进行了综述。并以此提出了本论文的研究内容。接下来我们介绍了熵垒的形成，并在此基础上研究了熵垒条件下受非对称无 偏向外力的作用的布朗粒子的输运。将系统利用非平衡涨落能量做功，看作是布 朗马达受到内、外噪声作用的结果，并建立了双噪声扩散模型。关键词：布朗马达，熵垒，输运速度，乘性噪声，白噪声 引言：从病毒、细菌到人类，其生命活动形形色色，千差万别；同一生命个体的 不同组织的生命表现也是形形色色，千差万别。将这些整体的，形形色色，

2、千差 万别的生命活动的原因追溯到分子水平，也就是从分子生物学的角度来观察生命 的运动就会发现有些生命有着惊人的相似，似乎存在着共同的规律。这些共同的 规律就是具有不同特定功能的蛋白质大分子分别在主导自己负责的做功活动。具 有特殊功能的蛋白质大分子通过生存环境的优胜劣汰进行复杂的进化组合，从而 得出有的不同的生命体或同一生命体的不同功能组织。这些蛋白质大分子能够将 化学能转化成机械能，或者将机械能转化为化学能。它在生命体中的作用或者说 工作模式如同我们宏观世界的马达、电动机或者是泵，因此它们被称为分子马达(molecular moor)、蛋白马达(protein motor)、蛋白机器(prot

3、ein machine) 等1。每个生命体或者是生命组织内部都有成千上万个分子马达来支撑相应的生 命活动和生命机能。生命在于运动，机体的一切活动，从肌肉收缩、细胞内部的 运输、遗传物质(DNA )的复制一直到细胞的分裂等等，追踪到分子水平，都 是来源于具有马达功能的蛋白大分子做功推动的结果。因此它们被称为分子马达 或蛋白马达和蛋白机器等。到目前为止，已有上百种的分子马达被确定，它们在 生命体内执行着自己特定的功能2,3,4。分子马达都是沿着相应的蛋白丝做定向运 动。这些蛋白丝起着轨道的作用，它们都是有极性的，因而也是有方向性的。这 些分子马达可高效率地将储存在腺苷三磷酸分子中的化学能直接转换为

4、机械能， 产生协调的定向运动而做功。迄今为止，人类尚无由化学能直接转换为机械能做 功的任何记载。那么由生物体反映出的这一独特的能量转换形式不仅对于生命活 动是至关重要的，而且可以使人类从新的角度去认识、研究和利用这一能量转换 的分子机制。因此分子马达做功原理及能量转换的分子机制已成为分子生物学、 物理学、生物化学等诸多科学中最引人注目的问题之一9，并会在相当长时间里 成为多学科所共同面临的一个极具挑战性的科学研究领域。生物分子马达以其优异的生化、物理性能吸引了生物、化学、物理、数学、 微机械等各个领域的科研工作广泛关注2,3,4,5。可以说，各个领域的科研工作者 都在按照自己的目标对这个具有强

5、大活力的生命机器展开实验观察、仿真、数学 模拟和物理分析等各方面的研究。关于分子马达的研究，一方面由于各领域人员 的关注点不同，导致不同领域对分子马达的研究也有一定的区别；另一方面，所 有领域的科学家对分子马达的终极研究目标就是解释生物分子马达的生理本质 和利用分子马达机器来解释现实世界中的其他难题。所以分子马达的研究(或者 说生物体的拓展研究)成为或者将成为各学科交叉的焦点。从化学的角度来看分子马达，其化学反应都有效率高和专一性这一特点1,2。实验表明：生物分子马达的效率都在50%以上，有的马达效率甚至接近 100%这种 效率是任何人造机器都无法与之相比的。这一点也经常被看作是模型研究中对模

6、 型本身的判据。1.1 生物分子马达简介分子马达都是蛋白大分子。对于真核细胞，最常见的为肌球蛋白马达，动蛋 白马达和蛋白马达三大家族系。肌球蛋白马达与肌动蛋白丝合在一起称为肌球动 蛋白13。当肌肉收缩时，肌球蛋白马达沿着肌动蛋白丝滑动，而动蛋白马达和 力蛋白马达都是沿着微管运载囊泡与细胞器等做定向运动。肌肉的肌球蛋白马达 和常规的动蛋白马达是迄今为止研究最多且具有代表性的两个系统 14 。他们的 大小尺度都是几十纳米量级7。近来，利用高分辨率电子显微镜观察到这两种蛋 白马达的头部的马达区，发现它们大小虽不相同，且肌球蛋白是动蛋白的三倍， 但包含着十分相似的蛋白质折叠结构，甚至在功能催化活性部位

7、的残基部都是同 源的。这本该意味着它们的功能也应该是相似的，然而在 ATP 的作用下一个肌 球蛋白马达沿着肌动蛋白丝做跳跃式运动，马达与轨道的结合只是瞬时的，只有 大量肌球蛋白马达在一起才有可能做连续性运动。而单个动蛋白马达却可以使负 载沿着微管运行相当长的距离而不脱轨，做前进式运动。用所谓的负载比来表征 这两个系统的运动情况，前者的负载比几乎为零，后者则接近乎百分之百。形象 地说，肌球蛋白马达相当于众多划船者，而动蛋白马达相当于挑夫。这种结构上 相似而功能上存在巨大差异的问题一直令人十分困惑。这实际上是涉及如何来统 一认识众多种类的分子马达在结构与功能上所显示出来的多样性这一难题6,7,8。

8、分子马达是一种非同寻常的机器，其做功原理不同于人造机器。它的化学能 可以直接转化为机械能而不经过中间的热能或者电能等，但这种转换要经过若干 中间步骤。因此，为了完全了解分子马达做功的机制，一般地建立起化学与力学 之间的关系是不够的，还要确定在化学能转换为机械能的周期过程中所经历的重 要意义的各个态的蛋白质结构变化与力能学特征，以及各态之间的动力学的联系 建立起定量的关系，以便进行定量描述。与直觉相反，ATP的水解与力的产生不 是直接耦合，而是间接耦合，在整个过程中要经过若干个步骤才能完成。分子马达广泛地存在于生物体内成为细胞或者生物组织的重要组成部分。生 命活动中的许多过程都是基于分子马达的运

9、动。如果真核细胞内沿细胞骨架系统 的物质输运， DNA 复制过程中的 DNA 解链过程11,12，细胞有丝分裂期间染色体 的分离过程以及肌肉收缩过程等等。分子马达运动所需要的能量来自于它所催化 的三磷酸腺苷水解释放的化学能。它的主要职能就是完成生物体内的化学能和机 械能的相互转变，在这个过程中，它可以对外做功也可以储存能量。由于各种分 子马达的结构不同，其功能也有所不同。随着单分子检测技术的发展，越来越多的分子马达的分子结构可以确定下来 其理化功能，作用也有更深刻的了解。按照分子马达的运动轨迹或者形式进行分 类，可以分为线性分子马达和旋转分子马达。1.1.1 线性分子马达线性分子马达的主要特点

10、是沿着一个特定的线性轨道做定向直线运动。包括 提供肌肉收缩以及细胞内物质输运和细胞物质形态改变的肌球蛋白 1,2、在细胞 生命活动中为一系列的输运过程提供动力的驱动蛋白9、在细胞内运载囊泡和细 胞器等物质的动力蛋白、参与DNA解链的DNA和在DNA转录过程中参与RNA 聚合的 RNA 聚合酶11等，都满足线性分子马达的特点。其中肌肉中的肌球蛋白是形如Y的长形不对称分子，长约160nm，分为头 部、颈部和尾部三个不同的功能区。其中头部包含有与肌动蛋白的结合部分和与 ATP的结合部位，是力产生的源头。与头部相连的颈部是a螺旋，结合着两个轻 链。颈部起着调整头部活动和杠杆作用。尾部可以和其它肌球蛋白

11、分子的尾部结 合形成粗纤丝。每个肌球蛋白含有两个完全相同的头部和颈部。肌球蛋白马达与 肌动蛋白丝合在一起称为肌球肌动蛋白。肌肉收缩时，肌球蛋白沿着肌动蛋白丝 滑动1,2。1.1.2 旋转分子马达旋转分子马达的主要特点是马达分子本身不做定向或者往返运动，一般包括 定子和转子两个部件，由定子和转子之间相互旋转运动来完成相应的生物功能。 旋转分子马达与线性分子马达对此，与我们宏观生活中的电动机和发电机更相似 最典型旋转分子马达为ATP合酶，承担着大部分ATP的合成任务。1.1.3 布朗马达分子马达怎么会知道要向哪个方向运动？为了回答这个问题，人们提出了布 朗马达模型。分子马达的运动具有三个基本特征。

12、首先，分子马达的几何尺度很小，一般 在 10 纳米左右，分子量在几万到几十万道尔顿。实验表明，马达与轨道之间的 结合能具有kT的能级，热运动的影响不容忽略，必须考虑内噪声的影响。因而 分子马达的布朗运动特性非常明显。另外，在生物体内的马大蛋白还是一个高度 非常平衡的体系15 。 ATP 的浓度远高于平衡态的浓度， ATP 的水解反应是单向 进行的。水解所释放的能量为系统提供了一种非平衡的驱动力源。除此之外，分 子马达总是沿着微丝或者微管作轨道运动，构成这些轨道的蛋白亚基顺序排列， 形成非对称的周期性结构。即使是旋转马达的转动也可以看做是沿周期性轨道的 运动。总的来说，分子马达是一种具有很大噪声

13、但尺寸很小的机器。人们将分子 马达的这类基于布朗运动力学理论的物理模型概括为布朗马达。用布朗马达来模 拟分子马达确实能够提供一种定向运动的机制。分子马达的布朗运动的理论最近几年取得了长足的进展10-15。所解决的首要 问题就是在没有宏观力的情况，分子马达如何能够拖动负载产生定向力，即ATP 水解的化学是过程与力和运动过程是如何耦合的。宏观的定向运动一般需要什么 那条件。目前来看不满足广义涨落耗散定理噪音的存在是一个重要的判据10。下面我们首先了解一下研究布朗马达的方法，其次是对布朗马达特性的研究1.2 朗之万方法布朗马达就如同处于大噪声环境下的布朗机器。所以，随即动力学方法将 是研究布朗运动的

14、很重要的工具。1.2.1 物理学研究的三个层次1.2.1.1 微观层次牛顿方程和刘维方程给定一个具有 N 个自由度的经典哈密顿系统，其哈密顿量满足：H = H (q , q , q , q ； p ,. p ),(1-1)用矢量 q，p 代表共轭的 N 个广义坐标和动量。就可以得到 q，p 运动的正则方程：ap,paq(1-2)其中 i=1, 2,3，N。考虑M个具有相同哈密顿量（1-1）的系统集合形成的系综。在由N个qi坐标和N个p .构成的2N维坐标空间中（空间），每个系统的一组q，p坐标, 在代表一个点。所以,M个系统组成的系综，在空间就对应M个点。用D（q，p）表示系综在（q，概率密度

15、为:p）处代表点的密度，则系综中个代表点落到（q，P）处的/、D（q, p）p （q, p）=M（1-3）在统计物理中，我们可以知道描述系统运动轨道的正则方程（ 1 - 2 ）可以等效地 表示为用描述概率密度（1-3）的刘维方程：ah apap aqiiap(q,p) ah apa ta q a pi = 1i i(1-4)P （0），i=1，2，N;或者给出i理论上来讲，只要给出2N个初始坐标q （0）、i概率密度数的初始分布就可以由正则方程（1-2）确定r空间的一条轨道或者用刘维方程 （1-4）确定密度函数的演化过程。从而得出系统演化发展的全部细致信息。所以， 用正则方程（1-2）或刘维方

16、程描述（1-4）系统的层次被称之为微观层次。1.2.1.2 宏观层次确定性方程对系统进行微观层次的描述是非常完美、完备的。它可以从理论上来给出系 统的演化发展的全部信息。但是在现实系统中，我们还会碰到一些实际的问题。 首先，对于哈密顿量H中包含有p,q的最高次项时，要得到长时间的行为是非常 困难的。随着 N 的增加，求解正则方程的难度将指数级加大。其次，对于实际的 具有相互作用的多体粒子，确定t=0时的每个粒子的位置和状态也几乎是不可能 的。除此以外，严格求解多体系统的大量联立方程也几乎是不可能的。所以，微 观层次的描述只是给多体系统提供了一个完美的理论框架。事实上，我们对系统 中的每个粒子演化的细致情况并不感兴趣，而只是关心这个多粒子