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1、从均匀膨胀宇宙模型推导证明出的红移距离关系式河北邯郸 薛世康 2012-7-2 ， 2012-12-16 修改)1 .首先，由熟知的罗伯逊一沃尔克(RobertsonWalker)度规:ds2 = dt2 一 R2(t)+ r2d0 2 + r2 sin2 Odd 21 - kr 2 九R(t ).推导出重要关系式：1 + z=寸0 = 打九R(t )11其中：r,e,为共动坐标；r 为径向共动坐标，它不随时间变化(宇宙膨胀)而变化，是无量纲量。t为宇宙时(cosmic time),它是在共动坐标系中静止的观察者所测到的原时。k是一常数，适当选取r的单位，可使k取+1,0 ,1,分别对应于闭合
2、的宇宙k =+1),平坦的宇宙(k= 0)和开放的宇宙(k=1)。R(t)随时间变化，称为宇宙尺度因子，具有长度的量纲。对于9,固定，r= 0和r=的两点间的固有距离为，R(t )sin-1 rk = 1ri dr1d (t) = R(t) R(t)rk = 0(1.1)p1 - kr2p(八110 *R(t)smh -1 rk = -11 此处所讨论的情形为球坐标，可将上述的一般关系进一步简化如下。2.从球坐标转换为一维直线情形，以使问题得以简化：考虑一列沿-r方向朝我们而来的光波包，其频率为v，在宇宙时t和t + At时刻从1 1 1 1一个遥远的星系(共动坐标r= r处)发出，在t和t
3、+ At时刻被我们(r= 0)接收到。1 0 0 0由于光子的运动方向为零测地线，ds 2 =0,又由于只沿径向运动，d0 =0, d=0,所以有0 = dS 2 = dt 2 - R 2(t)匸花1.2)C dro- kr 2以及R(t)o kr 2(1.3两式相减，就得到一个极其有用的关系式：At R (t )o = o(1AtR(t )11这即是时间膨胀现象的宇宙学表达式。我们所接收到的光波的频率V同发射时刻的频率v的关系为 o1vAt R(t )o = 4 = 1(1.5),v AtR (t )1oo3天文学中常用红移z来表示波长(或频率)的变化：九一九 九九R (t )1 +乙=尹=
4、0-九R(t )(1.7其中九为光波在发射时刻的波长、九为我们接收时刻的波长。因此我们有九R(t )由上述的关系式1+z=弋=忒1.7式(1.7)为宇宙学中最重要的关系式之一，该式揭示了宇宙学红移的本质，即宇宙学红移z加1等于宇宙的尺度因子的今天值R(t )与过去值R(t )(光波信号发生时)之比。可以看到，R(t)的具体取值并不太重要，真正重要的是R(t)的比值。甚至在有些专著中 为方便起见，常将今天的尺度因子R (t)取为1。由此式可知，若宇宙是不断膨胀的，则R (t ) R (t)，即z0,我们观测到的遥远 o1天体的光谱线都将发生红移。反之，若宇宙不断收缩，R (t ) v R (t)
5、，即z0,观测到 o1的遥远天体的光谱线将发生蓝移。天文观测表明，除了一些近处的星系外，几乎所有的河外星系的谱线都发生了红移。4.宇宙尺度因子R(t )反映了宇宙介质整体在膨胀的进程。以及下图所示关系，即可推导出宇宙学中非常重要的红移距离关系式。(1).红移距离关系式的推导过程在如下所示图中OB为观察者所在星系B到视界o之间的尺度R (t)0其中：B 点 为观察者所在星系， A 点 为观察到的目标星系， O 点 为可观测宇宙的 视界。OB 为观察者所在星系B到视界O之间的尺度R (t)；0OA为被观察星系A到视界0之间之间的尺度Ri(t)；AB 为观察者所在的星系B到被观察目标星系A之间的尺度
6、(跟距离有关系)R0(t)R1(t)。在以下的推导证明中，(R=叫,Ri(t)= R(1)，以与图中的符号一致，问题本质不变)由关系式(1.7)九=0 =九1R(t )0，可以得到:R(t )1R0(t) = R/)(*，则 Ri(t) = Ro(t J)，从而有如下：R0(t) - R1(t) = R0(t) - R0(t)=R0(t)(11仁)=R (t)(牛二1) = R (t)(亠)，1 + z01 + zz即 R (t) - R (t) = R (t)()；101 + z设为我们与被观察星系之间的距离，则有:zr= R (t) R (t) = R (t)()，0101 + zz即得到
7、距离 r= R (t)()01 + z(2). R (t)取值的确定及讨论0目前已经知道根据现代宇宙学的研究成果，我们已能确定可观测宇宙的视界的大小。CR (t)的表达式为，R (t)=，其中c为真空中的光速，H为哈勃常数，其取值目前00 H00已测定的比较准确。以 R (t)=0H代入0z心恥）（仁）之中就得到被观察的星系与我们的距离为 r= R0(t)）。Cr =H0综上所述，我们由宇宙学中的罗伯逊一沃尔克（RobertsonWalker）度规所推论出的重R （t ）要的关系式l + z=w哄为出发点，并根据附图所示的几何、代数关系进行巧妙变换，从R （t ）1而证明了均匀膨胀宇宙中的距离一红移关系rz（仁），它有着非常坚实的物理、宇宙学基础。）是计算遥远星系距离的便捷公式，C最后再次指出，距离一红移关系r=-H0并且此式是对哈勃公式的进一步的推广。参考文献1 .观测宇宙学（第二版）何香涛 著，北京师范大学出版社，2 0 0 7年12月。2 .天体物理学李宗伟 肖兴华著，高等教育出版社，2 0 0 0年7月第一版
