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1、海南大学土木建筑工程学院、海南省力学学会第二届力学竞赛试题1、如图1所示，质量均为m的n（n3）个均质圆柱体依次搁置在倾角为30 的斜面上，并用铅垂设立的铰支板挡住。若已知圆柱半径为R，板长为l，各圆柱与斜面和挡板之间的摩擦系数1/3，且不计各圆柱之间的摩擦，试求维持系统平衡时的最大水平力P。图1【解】先设圆柱，由三力平衡汇交定理知其与斜面间摩擦力为零，依次判断，直到圆柱与斜面间摩擦力均为零。再研究圆柱共n-1个柱体的整体平衡，由 有 为圆柱与间的作用力。 再研究圆柱，受力如图，由 有 设，由 当时，可知A处先滑动，且。由 将代入，得 所以 由 最后研究铰支板的平衡，由 所以 2、如图2所示，
2、偏心轮质量为m，偏心距OCe。轮对质心C的回转半径为c，置于光滑水平面上。初始时OC呈水平，质心C有一水平初速，轮的角速度为零。求当C点运动至最低位置时，水平面对轮的约束反力。图2【解】取质心平动参考系（图7），它以常速度运动。质心的相对速度沿轴。由动能定理，有图 7 其中。当质心C运动至最低点时，有 ， 故有 此时运用相对质心的动量矩定理，有 故 所以C点的加速度向上，为 所以有 即 3、图3所示对称桁架，受载荷P作用，己知各杆材料相同，横截面面积也相同，问有何办法可使各杆同时达成材料的许用应力?图3【解】办法1：运用装配应力改变内力分派。在准确加工、装配的情况下，桁架中各杆的受力为 （1）
3、 （2）因此，总是杆3先达成。为使各杆的 图 8应力同时达成，可采用加装配应力的办法，即预先将杆3做长，在强制装配以后，杆3将具有预应力，而杆1、2将具有预拉应力。由图8可知，设外载增至时，各杆的应力同时到达，节点到达。在小变形假设的前提下，叠加原理使用，与各杆伸长量之间应满足下列协调方程 (3) 各杆的轴力又满足下列物理方程 （） （4）由方程（3）、（4）解得杆3长度的过盈量， （5）该桁架的许用载荷为 由式（5）可以看出，这个解答的合用范围有一定的限制，即若接近时，就变得相称大，这时，小变形假设就不合用了，因此所得值也就没意义了。办法2：对于短暂加载情况，除了上述办法外，还可以采用加热应
4、力的办法来达成相同的目的，若材料的线膨胀系数为，又假设材料的许用应力不随温度的改变而改变，则杆3所需升高的温度为 4、物块C的重量为G，置于悬臂梁AB上（图4），梁长L，弯曲刚度EI，物块与梁间的摩擦系数为，求：图4 （1）物块开始滑动时的位置；（2）物块滑离B端时的速度。【解】（1）设物块开始滑动时的位置为，如图9所示，则AD段的挠度曲线方程为 由此可知 （1）由静力平衡条件，可求得摩擦力为 而物块开始滑动的条件为 图 9 由以上二式易得 将式(1)代入上式，即可得到物块开始滑动时的位置为 （2）物块由D处滑至B处，在此阶段的始、末两处的挠度分别为 ， 设物块滑离B端时的速度为，W为摩擦力F
5、在此滑动过程中所作的功，由能量守恒定律可得 （2）这里假定物块很小，其转动动能可忽略不计。由于 而 故有 积分上式，得 (3)将式（3）代入式（2），最后得到 5、下列结构均为等直杆，各相应载荷为任意分布。证明图5中（a）杆的轴力图、（b）圆轴的扭矩图、（c）梁的剪力图、（d）梁的弯矩图，其图形面积代数和均为零（c）梁剪力图在受分布和集中力偶矩时例外）。图5 【证明】设轴力为，扭矩为，弯矩为，剪力为，E为弹性模量，G为切变性模量，I和分别为轴惯性矩和极惯性矩，A为杆的截面面积。 (a)图，受任意分布和集中的轴向力作用。杆的总伸长为。由胡克定律，正应变，故轴力图面积的代数和为 (b)图,受任意分
6、布和集中的扭力偶作用。圆轴扭转角的边界条件为，根据圆轴扭转变形基本公式，故扭矩图面积的代数和为 (c)图，受任意分布和集中的横向载荷作用。对于简支梁，且在无分布力偶矩的情况下，剪力与弯矩的微分关系为，故有 受到分布和集中力偶矩作用时,此值一般不为零，由于关系式中，未考虑分布力偶矩的作用。在这种情况下，应修正为 其中与为分布力偶矩和集中力偶矩，逆时针为正。(d)图，受任意分布和集中的横向载荷及力偶矩作用。两端固支梁，转角边界条件为，有微分关系为 可以得出以上结论是由于，被积函数是有界且只有有限个间断点，因而总是可积的。在(a)、(b)、(d)三种情况下以及(c)只受横向载荷的情况下，原函数总是连续的，积分值仅与该原函数在两端的函数有关，而不必求出原函数。
