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1、第八章立体几何初步第八章立体几何初步章末知识梳理知识体系构建知识体系构建核心知识归纳核心知识归纳要点专项突破要点专项突破知识体系构建知识体系构建核心知识归纳核心知识归纳一、空间几何体的结构特征1多面体及其结构特征(1)棱柱：有两个平面(底面)互相平行；其余各面都是平行四边形；每相邻两个平行四边形的公共边互相平行(2)棱锥：有一个面(底面)是多边形；其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形(3)棱台：上、下底面互相平行，且是相似图形；各侧棱延长线相交于一点2旋转体及其结构特征(1)圆柱：圆柱的轴垂直于底面；圆柱的轴截面是矩形；圆柱的所有母线相互平行且相等，且都与圆柱的轴平行；圆柱的母线垂直于底面
2、(2)圆锥：圆锥的轴垂直于底面；圆锥的轴截面为等腰三角形；圆锥的顶点与底面圆周上任一点的连线都是圆锥的母线，圆锥的母线有无数条；圆锥的底面是一个圆面(3)圆台：圆台的上、下底面是两个半径不等的圆面；圆台两底面圆所在平面互相平行且和轴垂直；圆台有无数条母线；圆台的母线延长线交于一点二、空间几何体的直观图1斜二测画法中“斜”和“二测”“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x轴成45或135；“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x轴或z轴的线段长度不变；平行于y轴的线段长度变为原来的一半2斜二测画法中的建系原则在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系
3、都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线或图形的对称直线为坐标轴，图形的对称点为原点或利用原有互相垂直的直线为坐标轴等三、空间几何体的表面积和体积1多面体的表面积各个面的面积之和，也就是展开图的面积2旋转体的表面积圆柱：S2r22rl2r(rl)圆锥：Sr2rlr(rl)圆台：S(r2r2rlrl)球：S4R2.四、空间点、线、面之间的位置关系1平面的基本性质四个基本事实及其作用基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面作用：可用来确定一个平面；证明点线共面基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在此平面内作用：可用来证明点、直线在平面内基
4、本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线作用：可用来确定两个平面的交线；判断或证明多点共线；判断或证明多线共点基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行作用：判断空间两条直线平行的依据五、直线、平面平行的判定与性质1直线与平面平行(1)判定定理：平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行线面平行)(2)性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行线线平行”)2平面与平面平行(1)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行面面平
5、行”)(2)性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行六、直线、平面垂直的判定及其性质1直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义：直线l与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直(2)异面直线所成的角：定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)(3)判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(4)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行2平面与平面垂直(1)平面和平面垂直的定义：两个平面相交，若所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直(2)判
6、定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直(3)性质定理：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面要点专项突破要点专项突破1.空间几何体的表面积求法(1)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体表面积注意衔接部分的处理(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用2空间几何体体积问题常见类型(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解(2)若所给的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解要点一几何体的表面积与体积 如图所示(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表
7、面积和体积典例 1 (2023上海格致中学期中)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如不计容器的厚度，则球的体积为()对点练习对点练习A1.判断线面平行的两种常用方法面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：(1)利用线面平行的判定定理(2)利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面2判断面面平行的常用方法利用面面平行的判定定理要点二空间中的平行关系 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB平面ABCD，MAPB
8、，PB2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由典例 2四边形AFPM是平行四边形，AFPM.又AF平面PMD，PM平面PMD，AF平面PMD.又AFOFF，AF平面AFC，OF平面AFC，平面AFC平面PMD.(2023江苏苏州大学附属中学段考)如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD为平行四边形，M，N分别是棱AB，PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE.(1)求证：MN平面PAD；(2)求证：MNPE.对对点练习点练习证明(1)如图，取DC的中点Q，连接MQ，NQ.因为N，Q分别是PC，DC的中点，所以NQPD.因为NQ
9、平面PAD，PD平面PAD，所以NQ平面PAD.因为M，Q分别是AB，DC的中点，四边形ABCD是平行四边形，所以MQAD.又MQ平面PAD，AD平面PAD，所以MQ平面PAD.因为MQNQQ，MQ平面MNQ，NQ平面MNQ，所以平面MNQ平面PAD.因为MN平面MNQ，所以MN平面PAD.(2)因为平面MNQ平面PAD，且平面PEC平面MNQMN，平面PEC平面PADPE，所以MNPE.1.判定线面垂直的方法(1)线面垂直定义(2)线面垂直判定定理(3)平行线垂直平面的传递性质(ab，ba)(4)面面垂直性质(，l，a，ala)2判定面面垂直的方法(1)面面垂直的定义(2)面面垂直的判定定理
10、要点三空间中的垂直关系 如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.典例 3证明(1)因为平面PAD底面ABCD，平面PAD底面ABCDAD，PA平面PAD，PAAD，所以PA底面ABCD.(2)因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE.所以四边形ABED为平行四边形，所以BEAD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因为ABAD，且四边形ABED为平行四边形，所以BECD，ADCD
11、.由(1)知PA底面ABCD，所以APCD.又因为APADA，AP，AD平面PAD，所以CD平面PAD，所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PDEF，所以CDEF.又因为CDBE，EFBEE，EF，BE平面BEF，所以CD平面BEF.又CD平面PCD，所以平面BEF平面PCD.对对点练习点练习 如图所示，已知AF平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，DAB90，ABCD，ADAFCD2，AB4.(1)求证：AC平面BCE；(2)求证：ADAE.(2)因为AF平面ABCD，AD平面ABCD，所以AFAD.又DAB90，所以ABAD.又AF平面ABEF，AB
12、平面ABEF，AFABA，所以AD平面ABEF.又AE平面ABEF，所以ADAE.1.空间中的角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角这些角是对点、直线、平面所组成空间图形的位置关系进行定性分析和定量计算的重要组成部分，学习时要深刻理解它们的含义，并能综合应用空间各种角的概念和平面几何的知识熟练解题空间角的题目一般都是各种知识的交汇点，因此，它是高考重点考查的内容之一，应引起足够重视2求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角)3求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影)要点四空间中的角4常用的三种二面角的平面角的作法：(1)定义法；(2)垂线法；(3)垂
13、面法总之，求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算，空间角的计算步骤：一作，二证，三计算 如图，在四棱锥PABCD中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，AD1，BC3，CD4，PD2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；(2)求证：PD平面PBC；(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值典例 4(3)过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角因为PD平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以DFP为直线DF和平面PBC所成的角由于ADBC，DFAB，故BFAD1.由已知，得CFBCBF2.又ADDC，故BCDC.如图，正方体的棱长为1，BCBCO，求：(1)AO与AC所成角的大小；(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB与平面AOC所成角的大小对对点练习点练习(3)由(1)可知OC平面AOB.又OC平面AOC，平面AOB平面AOC.即平面AOB与平面AOC所成的角为90.
