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1、1走近数学建模走近数学建模自主自主预习预习新知新知导学导学合作合作探究探究释疑释疑解惑解惑课标定位课标定位素养阐释素养阐释1.了解了解“七桥问题七桥问题”构建数学模型思想构建数学模型思想.2.通过实例理解数学建模通过实例理解数学建模.3.体会数学建模的核心素养体会数学建模的核心素养,提升对数学学习的提升对数学学习的兴趣兴趣.一、七一、七桥问题【问题思考】【问题思考】1.什么是哥尼斯堡七桥问题什么是哥尼斯堡七桥问题?提示提示:哥尼斯堡城有座小岛哥尼斯堡城有座小岛,岛区与其他城区有七座桥相连岛区与其他城区有七座桥相连.如如何才能走过这七座桥何才能走过这七座桥,而每座桥都只能经过一次而每座桥都只能经
2、过一次,最后又回到最后又回到原来的出发点原来的出发点?2.欧拉如何将七桥问题进行数学表述欧拉如何将七桥问题进行数学表述?提示提示:岛的形状、大小岛的形状、大小,以及桥的长短、宽窄并不影响结果以及桥的长短、宽窄并不影响结果,重重要的是陆地、桥与岛这三者之间的位置关系要的是陆地、桥与岛这三者之间的位置关系.不妨把图中被不妨把图中被河隔开的河隔开的4块陆地看作块陆地看作4个点个点,连接陆地的连接陆地的7座桥看作座桥看作7条线条线,就就得到一个图形得到一个图形,实际问题中陆地、河流和桥梁的景观就不见实际问题中陆地、河流和桥梁的景观就不见了了,七桥问题就变成能否一笔画出此图形的问题七桥问题就变成能否一笔
3、画出此图形的问题.这就是欧拉这就是欧拉对七桥问题建立起来的数学模型对七桥问题建立起来的数学模型.二、一笔画定理二、一笔画定理【问题思考】【问题思考】1.什么是什么是“经过点经过点”?提示提示:只要从一条线进入这个点只要从一条线进入这个点,就要从另一条线离开这个点就要从另一条线离开这个点.有进无出有进无出,只能是终点只能是终点;有出无进有出无进,只能是起点只能是起点.2.什么是偶点什么是偶点?什么是奇点什么是奇点?提示提示:若以某一点为端点的线有偶数条若以某一点为端点的线有偶数条,则称该点为偶点则称该点为偶点;否则否则称为奇点称为奇点.显然显然“经过点经过点”是偶点是偶点.如果起点和终点是同一个
4、点如果起点和终点是同一个点,那么这个点也是偶点那么这个点也是偶点.3.一笔画定理是什么一笔画定理是什么?提示提示:一个由点和线组成的图形能一笔画完一个由点和线组成的图形能一笔画完,必须符合以下两必须符合以下两个条件个条件:(1)图形是连在一起的图形是连在一起的,即是连通图形即是连通图形;(2)图形中的奇点个数为图形中的奇点个数为0或或2.三、数学建模三、数学建模【问题思考】【问题思考】1.为什么要数学建模为什么要数学建模?提示提示:实际问题一直是数学发展的重要源泉实际问题一直是数学发展的重要源泉,解决实际问题也解决实际问题也一直是数学价值的重要体现一直是数学价值的重要体现.我们必须把实际问题进
5、行数学我们必须把实际问题进行数学建模建模,才能用数学的方法来解决实际问题才能用数学的方法来解决实际问题.2.什么是数学建模什么是数学建模?提示提示:对实际问题进行抽象概括对实际问题进行抽象概括,用数学的语言用数学的语言(模型模型)把实际把实际问题转化为数学问题问题转化为数学问题,又用数学的思想方法分析、解决了这又用数学的思想方法分析、解决了这个数学问题个数学问题,这个过程就是数学建模这个过程就是数学建模.3.七桥问题的意义是什么七桥问题的意义是什么?提示提示:在七桥问题中在七桥问题中,四个点全是奇点四个点全是奇点,不能一笔画不能一笔画,即不可能一即不可能一次无重复地走完七座桥次无重复地走完七座
6、桥.1735年年,欧拉把研究论文提交到圣彼欧拉把研究论文提交到圣彼得堡科学院得堡科学院,1741年发表在圣彼得堡科学院通讯上年发表在圣彼得堡科学院通讯上,开创开创了图论和拓扑学两门新的学科了图论和拓扑学两门新的学科.探究探究 数学数学建模案例分析建模案例分析问题情境问题情境:某学校上午下第四节课后某学校上午下第四节课后,参加数学建模的同学开参加数学建模的同学开始分组统计始分组统计,得到以下数据得到以下数据:刚开始有刚开始有s(sN+)名学生进入食堂名学生进入食堂打饭打饭,食堂开始打饭后食堂开始打饭后,仍有学生进来排队打饭仍有学生进来排队打饭.假设学生的数假设学生的数量按固定的速度增加量按固定的
7、速度增加,打饭人员的速度固定不变打饭人员的速度固定不变.若开放若开放5个打个打饭窗口饭窗口,则需则需120 min才能保证所有排好队的学生都打好饭才能保证所有排好队的学生都打好饭;若若开放开放10个打饭窗口个打饭窗口,则需则需50 min便可保证所有排好队的学生便可保证所有排好队的学生都打好饭都打好饭;如果要在如果要在30 min内让所有排好队的学生都打好饭内让所有排好队的学生都打好饭,从而使少部分后来到食堂打饭的学生能随时到随时打饭从而使少部分后来到食堂打饭的学生能随时到随时打饭,至至少要同时开放几个打饭窗口少要同时开放几个打饭窗口?分析问题分析问题:此情境是一个此情境是一个“排队论排队论”
8、中的问题中的问题,涉及的数学量有涉及的数学量有:刚开始有学生刚开始有学生s名名,学生数量增加的速度固定学生数量增加的速度固定,打饭的速度固定打饭的速度固定,开开5个打饭窗口打饭需要时间个打饭窗口打饭需要时间120 min,开开10个窗口打饭需要个窗口打饭需要时间时间50 min,开若干个打饭窗口用的时间在开若干个打饭窗口用的时间在30 min以内以内.在这在这些量中些量中,究竟该从哪个具体的量入手解决问题究竟该从哪个具体的量入手解决问题,如何正确地用如何正确地用这些已知量解决问题这些已知量解决问题?我们可以进行如下分析我们可以进行如下分析:本题涉及的工本题涉及的工作是打饭方式作是打饭方式,有三
9、种有三种:一是开一是开5个打饭窗口个打饭窗口,二是开二是开10个打饭个打饭窗口窗口,三是开三是开nN+个打饭窗口个打饭窗口.而每种打饭方式涉及以下这些而每种打饭方式涉及以下这些量量:学生原有人数学生原有人数,学生增加速度学生增加速度,学生增加人数学生增加人数,一个打一个打饭饭窗口的打饭速度窗口的打饭速度,需要打饭学生的人数需要打饭学生的人数,打饭的时间打饭的时间.这就是一这就是一个由来源于学生日常生活中的问题情境个由来源于学生日常生活中的问题情境,得到的一个简单的得到的一个简单的数学模型数学模型.只要我们师生都保持一颗好奇心只要我们师生都保持一颗好奇心,在日常生活中还在日常生活中还有很多素材可
10、以用来开展数学建模活动有很多素材可以用来开展数学建模活动.建立模型建立模型:对上述问题我们可以提出如下解决方案对上述问题我们可以提出如下解决方案:设开设开n个个打饭窗口可达到目的打饭窗口可达到目的,每分钟增加每分钟增加x名学生名学生,一个打饭窗口在一一个打饭窗口在一分钟内可给分钟内可给y名学生打饭名学生打饭,我们可把整体分析的结果用表格直我们可把整体分析的结果用表格直观地表示如下观地表示如下:打饭方式先到学生人数学生增加速度/(人/min)学生增加人数1个打饭窗口的速度学生打饭人数所需时间/min开5个打饭窗口sx120 xy5120y 120开10个打饭窗口sx50 xy1050y 50开n个打饭窗口sx30 xyn30y30
